【莫比乌斯函数/莫比乌斯反演的小笔记】

莫比乌斯函数:http://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html  OrzPoPoQQQ 这个证明过程第三步和第四步一开始没看懂…… 第三步:观察计算左边f(k)的系数,可以看出只要d不大于n/k均可以使μ(d)成为f(k)的系数,那么f(k)的系数就是sigma[d丨(n/k)] μ(d) (方括号内为d的范围) 利用整除的性质,重新组合了一下这几项,相当于对一个多项式重新分组提取因式什么的…… 第四步:利用sigma μ(d)=

莫比乌斯函数     莫比乌斯函数!?提到这个东西你会不会想到一个大神级的玩意:莫比乌斯反演       莫比乌斯函数其实很简单,非常非常简单…… 好了,步入正题吧……        我们定义一个函数M,参数为x,函数内容如下: X=X1^P1*X2^P2*……*Xa^Xk        那么这个式子到底是用来干什么的呢?        我们使X1.X2.X3都存在一个素数集合中,那么它们必定都是素数        则P1.P2.P3……为指数,因为对于任何数x(x>=2),都可以写成这种形式.

一.莫比乌斯(Möbius)函数 对于每个正整数n(n ≥ 2),设它的质因数分解式为: 根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为: 也就是如果n有平方因子,则为0. 否则是-1的质因数个数次方. 举个简单的例子:6 = 2 × 3,所以:  9 = 3×3, 所以 [命题一] 对于正整数n有: 也就是n>2时,所有n的约数对应函数值之和为0. 证明: n=1的时候是显然的. n≥2时: ① 如果d中也含有平方因子,则其值为零. ② 设 , 若d中不含平方因子,则必有. 所以有: 得证. 二.欧拉函数

参考资料: [大部分还没看完,目前主要看了popoqqq那篇 orz] http://wenku.baidu.com/link?url=Kzzxkk64CFU7sfDeJbGKNpZpFJzJY1ZwNoaPgGo7tPSpv4KJvGAkStkpzytG46gjQuqNX7NB0merxfS4knD2H5fw7s4oHu1o1-6p16_VbEm http://wenku.baidu.com/view/77396ebb27d3240c8547ef2e.html?re=view 浅谈一类积性函数

一个菜鸡对数论的一点点理解... 莫比乌斯函数 定义函数\(\mu(n)\)为: 当n有平方因子时,\(\mu(n)=0\). 当n没有平方因子时,\(\mu(n)=(-1)^{\omega(n)}\),\(\omega(n)\)表示n不同质因子的个数. 性质1: \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 证明:我们把n分解质因数,则原式\(=(-1+1)^{\omega(n)}=0\). 因为对于不同的质因子,只有选和不选两种方案,这是一个组合数相加的形式,偶数加奇数减,根据二项式

莫比乌斯函数 定义 莫比乌斯函数\(\mu(n)\),当\(n=1\)时,\(\mu(n)=1\):当\(n>1\)时,设\(n\)的唯一分解式为\(n=p_1^{c_1}\cdots p_k^{c_k}\),则\(\mu(n)\)定义为 \(\mu(n)= \begin{cases} (-1)^k,c_1=c_2=\cdots=c_k=1 \\ 0, \exists\, c_i>1(1\leq i\leq k)\\ \end{cases}\) 性质 \(\sum\limits_{d|n}\m

Codeforces 1139D. Steps to One 题目大意: 给出$m$,一个空的数列,每次可以$rand$一个数$x\in[1,m]$放到数列的末尾,若整个数列的$gcd==1$则停止加入数 求数列的期望长度 思路: 考虑当前整个数列的$gcd$为质数$p$的倍数,则若下一个数还是$p$的倍数即$\sum\limits_{i=1}^m [gcd(i,p)==p]$,相当于没变 则设当前$gcd$对答案产生的贡献为$ans_x$得到:$ans_x=1+ \sum\limits_{i=

传送门 2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2693  Solved: 1307[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些 数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送

完全平方数 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱.  这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌的数.他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X.小X很开心地收下了.  然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了.你能帮他一下吗? 还记得第一次接触这道题是一年前吧..那时候参加了一场某OJ的比赛 然后并不会做..在