1)问题描述
n个村庄之间的交通图可以用有向网图来表示，图中边<vi, vj>上的权值表示从村庄i到村庄j的道路长度。现在要从这n个村庄中选择一个村庄新建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使所有的村庄离医院都比较近？
2) 基本要求
(1) 建立模型，设计存储结构；
(2) 设计算法完成问题求解；
(3) 分析算法的时间复杂度。
3) 设计思想
医院选址问题实际是求有向图中心点的问题。首先定义顶点的偏心度。
设图G=（V，E），对任一顶点k，称E(k)=max{d(i, k)}（i∈V）为顶点k的偏心度。显然，偏心度最小的顶点即为图G的中心点。
如图3(a)所示是一个带权有向图，其各顶点的偏心度如图(b)所示。
4)医院选址问题的算法用伪代码描述如下：
1．对加权有向图，调用Floyd算法，求每对顶点间最短路径长度的矩阵；
2．对最短路径长度矩阵的每列求大值，即得到各顶点的偏心度；
3．具有最小偏心度的顶点即为所求。
5)代码附录
1 #include<stdio.h>
2 #include<stdlib.h>
3 #include<string.h>
4 #define INFINITY 1000000
5 #define MAX_VERTEX_NUM 20
6
7 //定义弧的权值信息
8 typedef struct Arccell
9 {
10 int adj; //权值
11 } Arccell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //图的邻接矩阵
12 //定义结点信息
13 typedef struct VertexInfo
14 {
15 char name[20];//结点[村庄]名称
16 int position;//定点编号
17 } VertexInfo;
18 //图的结构
19 typedef struct Mgraph
20 {
21 VertexInfo vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点数组
22 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
23 int vernum,arcnum;//分别指定顶点数和边数
24 } Mgraph;
25
26
27 //对图的初始化
28 Mgraph initgraph()
29 {
30 Mgraph c;
31 printf("请输入该图的顶点个数和弧的个数：\n");
32 printf("顶点个数：");
33 scanf("%d",&c.vernum);
34 printf("弧的个数：");
35 scanf("%d",&c.arcnum);
36 //依次设置顶点编号
37 for(int i=0; i<c.vernum; i++)
38 {
39 c.vexs[i].position=i;
40 }
41 //依次输入各顶点信息
42 /*
43 strcpy(c.vexs[0].name,"a");
44 strcpy(c.vexs[1].name,"b");
45 strcpy(c.vexs[2].name,"c");
46 strcpy(c.vexs[3].name,"d");
47 strcpy(c.vexs[4].name,"e");
48
49 */
50 printf("\n请依次输入各个村庄的名称：\n");
51 for(int i=0;i<c.vernum;i++)
52 {
53 printf("村庄%d:",i);
54 scanf("%s",&c.vexs[i].name);
55
56 }
57
58 //依次设置各弧的信息
59 for(int i=0; i<c.vernum; i++)
60 {
61 //先初始化邻接矩阵,相同点设置为0，其他全部设置为INFINITY（无穷大）
62 for(int j=0; j<c.vernum; j++)
63 {
64 c.arcs[i][j].adj=INFINITY;
65 if(i==j)
66 {
67 c.arcs[i][j].adj=0;
68 }
69 }
70 }
71 //再依次输入需要设置的权值
72 int i,j,k;
73 printf("请输入需要设置的弧长及其两端顶点[输入3个0结束]：\n");
74 while(scanf("%d%d%d",&i,&j,&k))
75 {
76 if(i==0&&j==0&k==0)
77 break;
78 c.arcs[i][j].adj=k;
79 }
80 /*
81 c.arcs[0][1].adj=1;
82 c.arcs[1][2].adj=2;
83 c.arcs[2][3].adj=2;
84 c.arcs[2][4].adj=4;
85 c.arcs[3][1].adj=1;
86 c.arcs[3][2].adj=3;
87 c.arcs[4][3].adj=5;
88 */
89 return c;
90 }
91
92 //输出邻接矩阵
93 void printMatrix(Mgraph c)
94 {
95 printf("该图的邻接矩阵如下所示：\n");
96 int count=0;//用于计数
97 for(int i=0; i<c.vernum; i++)
98 for(int j=0; j<c.vernum; j++)
99 {
100 if(c.arcs[i][j].adj==INFINITY)
101 printf(" #");
102 else
103 printf("%4d",c.arcs[i][j].adj);
104 count++;
105 if(count%c.vernum==0)
106 printf("\n");
107 }
108 }
109
110 void ShortestPath_Floyd(Mgraph G,int dis[][MAX_VERTEX_NUM])
111 {
112 //用floyd算法求有向网G中各对定点v和w之间的最短路径及其带权长度dis[v][w]
113 for(int v=0; v<G.vernum; v++)
114 for(int w=0; w<G.vernum; w++)
115 {
116 //对各结点之间初始化已知距离
117 dis[v][w]=G.arcs[v][w].adj;
118 }
119
120 for(int u=0; u<G.vernum; u++)
121 for(int v=0; v<G.vernum; v++)
122 for(int w=0; w<G.vernum; w++)
123 {
124 if(dis[v][u]+dis[u][w]<dis[v][w])
125 {
126 //从v经u到w的路径更短
127 dis[v][w]=dis[v][u]+dis[u][w];
128 }
129 }
130
131 }
132 //输出距离矩阵
133 void printDis(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM])
134 {
135 printf("\n经过Flyod算法之后各顶点之间的距离如下：\n");
136 for(int i=0; i<G.vernum; i++)
137 {
138 for(int j=0; j<G.vernum; j++)
139 {
140 if(dis[i][j]>=1000000)
141 printf(" #");
142 else
143 printf("%4d",dis[i][j]);
144
145 }
146 printf("\n");
147 }
148 }
149
150 //得到偏心度degree[]数组
151 void getDegree(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],int degree[])
152 {
153 for(int i=0;i<G.vernum;i++)
154 {
155 int max=dis[0][i];
156 for(int j=0;j<G.vernum;j++)
157 {
158 if(dis[j][i]>max)
159 max=dis[j][i];
160 }
161 degree[i]=max;
162 }
163 }
164
165
166
167 int main()
168 {
169 printf("**********欢迎使用医院选址系统*********\n");
170 Mgraph c=initgraph();
171 system("cls");
172
173 //输出邻接矩阵
174 getchar();
175 printMatrix(c);
176
177 //定义距离数组，调用Floyd算法得到结果
178 int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
179 ShortestPath_Floyd(c,dis);
180
181 //输出各个顶点之间的距离矩阵
182 getchar();
183 printDis(c,dis);
184
185 //存放偏心度数
186 int degree[c.vernum];
187 getDegree(c,dis,degree);
188
189 //显示各顶点的偏心度
190 getchar();
191 printf("\n各顶点的偏心度如下所示：\n");
192 for(int i=0;i<c.vernum;i++)
193 {
194 if(degree[i]>=1000000)
195 printf(" #\n");
196 else
197 printf("%4d\n",degree[i]);
198 }
199
200 //得到最小村庄的编号和名称
201 int num;
202 int min=degree[0];
203 for(int i=0;i<c.vernum;i++)
204 {
205 if(min>degree[i])
206 min=degree[i];
207 }
208
209 for(int i=0;i<c.vernum;i++)
210 {
211 if(min==degree[i])
212 {
213 num=i;
214 break;
215 }
216 }
217 getchar();
218 printf("\n偏心度最小的村庄编号：%4d\n",num);//输出偏心度最小的村庄编号
219 printf("医院应该建立在村庄: %4s \n",c.vexs[num].name);
220 return 0;
221
222 }
6)测试结果
1.首先运行程序，出现如图6.1所示。
图6.1 程序运行开始界面
2.输入顶点个数和边的个数之后，会提示输入村庄名称，如图6.2所示。
图6.2 提示输入村庄名称界面
3.村庄名称输入结束之后，提示输入边的起始点和权值，如图6.3所示。
图6.3 提示输入边相关信息的界面
4.输入边的信息，以输入0 0 0结束，如图6.4所示。
图6.4 输入边相关信息界面
5.边的信息输入完成之后，回车得到邻接矩阵，如图6.5所示。
图6.5 邻接矩阵表
6.继续回车，得到距离矩阵，如图6.6所示。
图6.6 距离矩阵表
7.回车，得到偏心度表，如图6.7所示。
图6.7 各顶点偏心度
8.最后程序输出医院选址结果，如图6.8所示。
图6.8 最终结果
时间： 2024-10-14 09:22:17