1.康托展开的解释
康托展开就是一种特殊的哈希函数
把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!
其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以
有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
(1)找出第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
用23去除3! 得到3余5
用5去除2!得到2余1
用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）
有2个数比它小的数是3
有1个数比它小的数是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
康拓展开与逆康拓展开C++代码：
/*
input
1 5
1 2 3 4 5
1 5
1 2 3 5 4
2 5
1
1 5
4 5 3 2 1
2 5
95
Output
Cantor=0
Cantor=1
数列为：1 2 3 5 4
Cantor=95
数列为：4 5 3 2 1
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define rev(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
using namespace std;
const int mod=1e9 +7;
const int maxn=2005;
const int maxm=4005;
int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
int cantor(int *s,int n)
{
int num=0;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int tmp=0;
for(int j=i+1;j<n;j++)
if(s[j]<s[i])tmp++;
num+=fac[n-i-1]*tmp;
}
return num;
}
void _cantor(int *s,int n,int x)
{
bool tmp[n+1];
clr(tmp,0);
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
int k=x/fac[i];x%=fac[i];
int j=1;
for(int sum=0;sum<k||tmp[j];j++)
if(!tmp[j])sum++;
s[n-1-i]=j;
tmp[j]=1;
}
}
int main()
{
int flag,n;
while(~scanf("%d%d",&flag,&n))
{
if(flag==1)
{
int s[n];
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&s[i]);
printf("Cantor=%d\n",cantor(s,n));
}
else if(flag==2)
{
int x,ans[n];
scanf("%d",&x);
_cantor(ans,n,x);
cout<<"数列为：";
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d%c",ans[i],i==n-1?'\n':' ');
}
}
return 0;
}
参考：http://www.cnblogs.com/hxsyl/archive/2012/04/11/2443009.html