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设 $$\bex x_n=\sum_{k=2}^n \frac{\cos k}{k(k-1)}, \eex$$ 是判断 $\sed{x_n}$ 是否收敛?

解答: 由 $$\beex \bea |x_{n+p}-x_n|&=\sev{\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{\cos k}{k(k-1)}} \leq \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k(k-1)} =\sum_{k=n+1}^{n+p}\sex{\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\\ &<\frac{1}{n}\to 0\quad\sex{n\to\infty} \eea \eeex$$ 及 Cauchy 收敛准则即知 $\sed{x_n}$ 收敛.

时间： 2024-11-09 02:42:09

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