最长单调递增子序列-LIS问题

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最长单减子序列、最长单增子序列、相继元素之间满足某种条件（例如绝对值之差不超过d）的最长子序列等，都是一个类型的动态规划。

下面给出一个n平方级别的基本算法。

思路：定义dp[i]代表A[i:n]中，以A[i]为开头的最长单增序列的长度。

从A[i-1]开始，最长单调递增序列应该按下列方法求出: 在A[i],A[i+1],A[i+2],…,A[n]中，找出一个比A[i-1]大的且最长的单增序列，

将A[i-1]接在该序列前面，即形成一个新的最长单增序列。

对于位置i-1，寻找A[i:n]中满足A[i-1]<A[j]的位置j，并取最大的dp[j]，则dp[i-1]=dp[j]+1。

如果找不到这样的位置j，则以当前A[i-1]为开头的最长单增序列只包含它自己，更新dp[i-1]=1即可。

1.如果只要求输出最大长度，则遍历时记录dp[i]的最大值即可。

2.如果要求输出最长子序列，则遍历时使用一个数组记录相继位置，最后按序输出即可。

ps：本题可以改进成一个O(nlogn)的解法，思路是改进查找的策略，不要按序查找，可以用堆来维护。

c代码：

#include<stdio.h>
#define N 30
int main(){
    int A[N],dp[N];
    int i,j,n,k,L,MAX;
    while(scanf("%d",&n),n){
        for(k=0;k<n;k++){
            scanf("%d",&A[k]);
        }
        //printf("k=%d\n",k);
        dp[k-1]=1;//初始化最后一个
        MAX=1;
        for (i=k-2; i>=0; i--){
            L=0;//L记录最大长度
            for(j=i+1; j<=k-1; j++){
                if(A[i]>=A[j]&&dp[j]>L)L=dp[j];
            }
            if (L>0)dp[i]=L+1;
            else dp[i]=1;
            if(dp[i]>MAX)MAX=dp[i];
        }
        printf("%d\n",MAX);
    }
    return 0;
}