COJ 0248 HDNOIP201408生成树

题解：最小乘积生成树的板子。

设每个点有x,y两个权值，求一棵生成树，使得sigma(x[i])*sigma(y[i])最小。

设每棵生成树为坐标系上的一个点，sigma(x[i])为横坐标，sigma(y[i])为纵坐标。则问题转化为求一个点，使得xy=k最小。即，使过这个点的反比例函数y=k/x最接近坐标轴。

Step1:求得分别距x轴和y轴最近的生成树（点）：A、B（分别按x权值和y权值做最小生成树即可）。

Step2:寻找一个在AB的靠近原点一侧的且离AB最远的生成树C，试图更新答案。

【怎么找？？？？

——由于C离AB最远，所以S△ABC面积最大。

向量AB=（B.x - A.x , B.y - A.y）

向量AC= (C.x - A.x , C.y - A.y)

向量AB、AC的叉积(的二分之一)为S△ABC的面积（只不过叉积是有向的，是负的，所以最小化这个值，即为最大化面积）。

最小化：(B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(B.y-A.y)*(C.x-A.x)

=(B.x-A.x)*C.y+(A.y-B.y)*C.x  -  A.y*(B.x-A.x)+A.x*(B.y-A.y)/*粗体为常数，不要管*/

所以将每个点的权值修改为 y[i]*(B.x-A.x)+(A.y-B.y)*x[i] 做最小生成树，找到的即是C。】

Step3:递归地分别往AC、BC靠近原点的一侧找。递归边界：该侧没有点了(即叉积大于等于零)。——The Solution By AutSky_JadeK(From SDOI).http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/.

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<queue>
 6 #include<cstring>
 7 #define PAU putchar(‘ ‘)
 8 #define ENT putchar(‘\n‘)
 9 using namespace std;
10 typedef long long ll;
11 const int maxn=300+10;
12 const int maxm=20000+10;
13 const int inf=1<<28;
14 inline long long read(){
15     long long x=0,sig=1;char ch=getchar();
16     while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘) sig=-1;ch=getchar();}
17     while(isdigit(ch)) x=10*x+ch-‘0‘,ch=getchar();
18     return x*=sig;
19 }
20 inline void write(int x){
21     if(x==0){putchar(‘0‘);return;}if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;
22     int len=0,buf[15];while(x) buf[len++]=x%10,x/=10;
23     for(int i=len-1;i>=0;i--) putchar(buf[i]+‘0‘);return;
24 }
25 struct point{ll x,y;}ans;
26 point operator-(const point&a,const point&b){return(point){a.x-b.x,a.y-b.y};}
27 ll operator*(point a,point b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
28 bool operator<(point a,point b){return a.x*a.y<b.x*b.y||a.x*a.y==b.x*b.y&&a.x<b.x;}
29 struct edge{int u,v,x,y;ll w;}e[maxm];
30 bool operator<(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
31 int n,m,fa[maxn];
32 int findset(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=findset(fa[x]);}
33 void setinit(){for(int i=0;i<n;i++)fa[i]=i;return;}
34 point kruscal(){
35     point tmp=(point){0,0};setinit(),sort(e,e+m);
36     for(int i=0;i<m;i++){
37         int u=findset(e[i].u),v=findset(e[i].v);
38         if(u!=v){
39             fa[u]=v;
40             tmp.x+=e[i].x;
41             tmp.y+=e[i].y;
42         }
43     }if(tmp<ans)ans=tmp;return tmp;
44 }
45 void solve(point a,point b){
46     for(int i=0;i<m;i++)e[i].w=(b.x-a.x)*e[i].y+(a.y-b.y)*e[i].x;
47     point c=kruscal();if((a-c)*(b-c)<0)solve(a,c),solve(c,b);return;
48 }
49 void init(){
50     n=read(),m=read();
51     for(int i=0;i<m;i++){
52         e[i].u=read(),e[i].v=read();
53         e[i].x=read(),e[i].y=read();
54     }ans.x=ans.y=inf;
55     return;
56 }
57 void work(){
58     for(int i=0;i<m;i++)e[i].w=e[i].x;
59     point a=kruscal();
60     for(int i=0;i<m;i++)e[i].w=e[i].y;
61     point b=kruscal();
62     solve(a,b);
63     return;
64 }
65 void print(){
66     write(ans.x*ans.y);
67     return;
68 }
69 int main(){init();work();print();return 0;}