sum

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Problem Description:

 给定a和n，计算a+aa+aaa+aaaa+...+a...a(n个a) 的和。

Input:

测试数据有多组,以文件结尾。每行输入a，n（1<=a<=10^9,1=<n<=10^18）。

Output:

由于结果可能比较大，所以请输出答案mod 1000000007。

Sample Input:

3 2

Sample Output:

36

分析：数列a，aa，aaa...符合公式f[n]=pow(10,len)+a(len为a的位数);则g[n]=g[n-1]+f[n];由上面两个公式可构造矩阵:                                |1,0,0||g[n],f[n],1|=|g[n-1],f[n-1],0|*|p,p,0|(其中p=pow(len,10))                                |a,a,1|

递推得|g[n],f[n],1|=|g[1],f[1],0,|*ans^(n-1);ans为构造矩阵f[1]=g[1]=a;

所以最终答案为res=a*ans.m[0][0]+a*ans.m[0][1]+ans.m[0][2]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define LL long long
#define inf 1<<30
#define mod 1000000007
#define N 100010
using namespace std;
struct matrix
{
    LL m[3][3];
}ans;
matrix mult(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    memset(c.m,0,sizeof(c.m));
    for(int i=0;i<3;i++)
    for(int k=0;k<3;k++)
    {
        if(a.m[i][k]==0)continue;
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            if(b.m[k][j]==0)continue;
            c.m[i][j]+=(a.m[i][k]%mod)*(b.m[k][j]%mod)%mod;
            c.m[i][j]%=mod;
        }
    }
    return c;
}
matrix quickmod(matrix x,LL n)
{
    matrix temp;
    memset(temp.m,0,sizeof(temp.m));
    for(int i=0;i<3;i++)temp.m[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)temp=mult(temp,x);
        x=mult(x,x);
        n>>=1;
    }
    return temp;
}
LL fact(LL x)
{
    LL res=1;
    for(int i=1;i<=x;i++)res*=10;
    return res;
}
int main()
{
    LL n,a;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&n)!=EOF)
    {
        LL temp=a,len=0;
        while(temp)
        {
            len++;
            temp/=10;
        }
        LL p=fact(len);
        ans.m[0][0]=1;ans.m[0][1]=0;ans.m[0][2]=0;
        ans.m[1][0]=p;ans.m[1][1]=p;ans.m[1][2]=0;
        ans.m[2][0]=a;ans.m[2][1]=a;ans.m[2][2]=1;
        ans=quickmod(ans,n-1);
        LL res=ans.m[0][0]*a%mod+ans.m[1][0]*a%mod+ans.m[2][0];
        printf("%lld\n",res%mod);
    }
}