数学分析

在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和。[2]再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。[3]在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理。

历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。

贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。

在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε, δ)定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。

在十九世纪末时，也发现了许多病态函数，像是处处不连续函数、处处连续但处处不可微分的魏尔斯特拉斯函数以及空间填充曲线等，卡米尔·若尔当发展了若尔当测度，而格奥尔格·康托尔提出了现在称为朴素集合论的理论，勒内-路易·贝尔证明了贝尔纲定理。在二十世纪初期，利用公理化的集合论将微积分进行形式化，昂利·勒贝格解决了量测问题，大卫·希尔伯特导入了希尔伯特空间来求解积分方程。赋范向量空间的概念已经提出，1920年代时斯特凡·巴拿赫创建了泛函分析。

重要概念[编辑]

度量空间[编辑]

主条目：度量空间

数学中的度量空间是一个集合，而集合中两个元素的距离（叫做度量）有清楚的定义。

大部份的数学分析都是针对特定的度量空间，最常见的是数线、复数平面、欧几里得空间、其他向量空间及整数。数学中没有度量的分包括有量测理论（描述大小而不是距离）及泛函分析（研究不需要距离概念的拓扑向量空间）

度量空间是一个有序对，其中是一集合，而为中的度量〈也是函数〉

使得针对任何的，以下的叙述都成立：

  1.     （非负性）
  2.  当且仅当     （不可区别的等同原则）
  3.     （对称性）和
  4.     （三角不等式）
时间： 2024-10-08 19:24:31

数学分析的相关文章

[家里蹲大学数学杂志]第260期华南师范大学2013年数学分析考研试题参考解答

1已给出一个函数的表达式 $F(x)$, 其为 $f(x)$ 的原函数, 求 $\dps{\int xf(x)\rd x}$. 解答: $$\beex \bea \int xf'(x)\rd x &=\int x\rd f(x)\\ &=xf(x)-\int f(x)\rd x\\ &=xF'(x)-F(x). \eea \eeex$$ 2已知 $$\bex \sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_i=0. \eex$$ 试证: $$\bex \ls{n}\sum_{

[家里蹲大学数学杂志]第262期广州大学2013年数学分析考研试题参考解答

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

兰州大学2009年数学分析考研试题参考解答

1计算. (1)  \dps{ \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^{x^2}\sin^\frac{3}{2}t\rd t}{\int_0^xt\sex{t-\sin t}\rd t} } . 解答: \bex \mbox{原式}&=&\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin^\frac{3}{2}x^2}{x\sex{x-\sin x}}\\ &=&\lim_{x\to 0}\frac{2x^4}{x\cdot\frac{x^3}{6}}\\ &

兰州大学2005年数学分析考研试题参考解答

1(10′ )判断下列命题是否正确. (1) 设数列 {xn} 满足: ? p∈N, limn→∞(xn+p?xn)=0 . 则 {xn} 收敛. 解答: 错! 比如对 xn=∑ni=11i 有 limn→∞(xn+p?xn)=limn→∞(1n+1+?+1n+p)=0, ? p∈N. 但 {xn} 发散. (2) 设 f(x) 在 [a,b] 上 Riemann 可积, 则 f(x) 在 [a,b] 上一定有原函数. 解答: 错! 因为任一仅具有有限多个跳跃间断点的函数 f 均是 Rieman

[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编数学分析习题课讲义习题参考解答

谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编数学分析习题课讲义16.2.3练习题参考解答[来自陶哲轩小弟] 谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编数学分析习题课讲义23.2.3练习题参考解答[来自陶哲轩小弟]

[家里蹲大学数学杂志]第264期武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答

第264期_武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答 下载提示: 点击链接后, 拉到最下端, 看见 "正在获取下载地址", 等待后点击"中国电信下载"即可. 下载后请自行打印与学习, 不要到处传播于网络, 更不要用于商业用途. [这个放在这主要也是由于我的tex文件居然没有保存.到2014年6月4日共289期有些期没有整理好也正常] [家里蹲大学数学杂志]第264期武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答,布布扣,bubuko.com

兰州大学2008年数学分析考研试题参考解答

1计算. (1) \dps{\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\sex{1+\frac{1}{n}} \sex{1+\frac{2}{n}} \cdots \sex{1+\frac{n}{n}} }} . 解答: \bex \mbox{原式}&=&\lim_{n\to\infty} \sed{ \frac{1}{n} \sez{\ln\sex{1+\frac{1}{n}}+\cdots+\ln \sex{1+\frac{n-1}{n}}} +\frac{\ln 2

[家里蹲大学数学杂志]第058期兰州大学2011年数学分析考研试题参考解答

$\bf 摘要$: 本文给出了兰州大学 2011 年数学分析考研试题的一个参考解答. $\bf 关键词$: 兰州大学; 数学分析; 考研试题 1计算题 ($6\times 10'=60'$). (1)求极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{e^{x-\sin x}-e^\frac{x^3}{6}}{x^5} \eex$$ 解答: $$\bex \mbox{原极限}&=&\lim_{x\to 0}\frac{e^\xi\sex{x-\sin x-\frac{x^3}{6}

数学分析里面的蕴含(?)究竟是什么意思

前言:数学分析里面A蕴含B,记作:A?B(在逻辑学上记作A→B),其真值表例如以下: A B A?B T T T T F F F T T F F T (当中T为true.F为false) 分析:通过上面的真值表.我们能够简单得到例如以下的几个结论: 结论1 若A为F,不管B值是T或F.都可得到A?B为真. 结论2 要想A?B为真,仅仅需验证不会出现A为T,B为F的情况. 深入:蕴含,事实上是语意上比較弱的定义,A蕴含B,表示A包括B,更确切的,表示A假设为T则B有可能为T.就是说蕴含事实上是一种