<<什么是数学>>　读书笔记　第一章

如果你打开了这个web page，请忘记所有所学的数学知识，从零开始？

不！不止从0开始，把自己当做一个baby重新审视这个世界。看看伟大的数学家都做了神马

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数值的表示和计算

自然数或是正整数的数学理论就是算术(Arithmetic)

说道加法，数学家就像程序员一样，用‘+’符号来当做一个函数操作，‘+’左右两边各取一个对象，对这两个对象进行加法操作。

数学是为生活服务的，以前的算术通常就是为了计数。一般的，不管‘+’的左右操作数顺序如何，他们的和通常是相同的。比方说，农民有两个箩筐放在自己左右手两侧，都装有土豆，他只想知道自己一共有多少个土豆，先数左边的土豆和先数右边的土豆是不对最终结果造成影响的。也就是说1+2 = 2+1。

也就是说 a + b = b + a

但是这一定成立嘛？不。想想浓硫酸的稀释操作，是往浓硫酸里面添加蒸馏水还是往蒸馏水里面添加浓硫酸？有基础化学知识的人都知道，这个‘+’的操作就很重要，会对最后的结果造成很大的影响。

通常的，我们日常生活中（21世纪），通常的数值表示方法是这样的，140，读作一百四十。

140这个表示法含有1,4,0.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个字符是我们用来表示零和前9个正整数。符号本身就是一种抽象操作。

比方说你不用伸出三根手指，表示数值三，你只需要用这个符号‘3’表示计数量有三个即可。

抽象操作是为了更简洁的操作，更易用。当抽象程度过高的时候，没有参与抽象设计的人在理解的时候往往会不止所言，“晕乎乎的”“看不懂了”。不要畏难，始终要记住，抽象，是为了更方便简洁的完成我们要做的事情。

你一开始是不知道‘9’这种符号代表什么意思的，是经过长期的生活训练，懂得了如果使用这种符号抽象，能够运用自如。如今经过长期的训练之后，你甚至会觉得，这是“理所当然的”，那是因为你已经能够使用这种‘9’符号抽象代替你做原来繁杂的基础工作（比方说你不需要每次都伸出九个手指，不用结绳计数打九个结。。。）。抽象操作让我们的生活变得便利，简单。以至于编程语言里面也会有所谓的Object oriented programming。抽象的程度高一点，是为了更加易用。

回到“140”上面来。

140 这里你会发现‘1’你首先开始读的‘字符’。接着才是‘4’和‘0’。这是左边优先了，不是嘛？巴比伦人和苏马连人很聪明，这就是他们发明的位置计数法。利用字符的顺序特性，约定一种易于人类接受的方式，去“解释”这个字符组合。

与此相反的，罗马人就比较“搓”了。相信你一定接触过这种符号‘V’ ‘VII’ ‘III’ 。这就是罗马人创造的抽象符号，但是时间证明这种抽象并不易用。

罗马数字共有7个，即I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）和M（1000）。按照下述的规则可以表示任意正整数。需要注意的是罗马数字中没有“0”，与进位制无关。一般认为罗马数字只用来记数，而不作演算。

有兴趣的话自行wikipedia ：）

需要表示的数值越来越大的时候，数值表示也麻烦，也不便于计算，罗马人的计数法就“坑爹”了，当时只有专家才能掌握这种计数法。于是，人类的选择就是历史的选择，群众路线才是王道哈哈。除了这两种对于数值的抽象方式之外，还有其他的方式，但是人类倾向于接受位置计数法和数值表示用0~9的方式。这没什么理由，可取追究了，这是人类的选择。

数系的无限性和数学归纳法

当你还是计数的时候会发现，1数完了，还有2，接着数下去假设遇到一个数n，你总能对这个数进行‘+’操作，使得n+1得到下一个数，这样总能找到“下一个数”，数无穷无尽。有无穷多个自然数。

而数学归纳法是用来证明无穷序列都是为真的情况的一种方法。

假设我们有无穷个序列命题A：

A1，A2，A3。。。An

假设

a）通过某些数学证明了：如果r是任意正整数，且命题Ar是真的。那么就可以Ar+1也是对的

b）第一个命题已知为真，那么序列的所有命题必然都是真的，从而A得到证明

就像domino骨牌一样，前面的一块倒了，后面的跟着倒掉。重要的只有两种事情

a）建立前后任意两项的联系，确保这个联系的一致性

b）确保起始一项满足假设条件（第一块domino骨牌不倒，后面的骨牌难得倒掉）

demo： 求和1+2+3+。。。+n

怎么证明：

这是个“总所周知”的公式，用着很“爽”，怎么证明呢？在已知某个结论的情况下，我们要证明这个结论，我们可以尝试使用数学归纳法。

这里我们前面谈到的条件a）就达到了，所有前后两项Sr和Sr+1都满足这个计算公式。

接下来我们只要验证第一块domino骨牌会倒下（满足公式）即可

当n = 1时，Sn = （1+1）*1/2 = 1，满足计算公式，于是公式得证

数学归纳法是已知公式，对公式进行证明的一种方式，如果我们不知道Sn的表达式，我们还可以用别的方法进行等差数列求和公式的计算。这里不再说明，书上有。

一些比较重要的公式：