问题

如何求一个三维的正交变换，它把已知向量 (a,b,c)T (a2+b2+c2=1) 变换为 (0,0,1)T？

解答

这样的正交变换不是唯一的。因为有太多种可能。

我比较感兴趣的是两种：旋转 和 反射。

反射

垂直于 OAZ 所在平面，并且等分∠AOZ的平面作为镜面时的反射满足条件。

首先确定这个平面。令为π:px+qy+rz+d=0 记作 (p,q,r,d)T。

不失一般性，不妨假设 p2+q2+r2=1; 因为经过 O:(0,0,0) 点，所以 d=0。即： π=(p,q,r,0)T

另外容易知道： AZ 的中点，以及向量 (0,0,1) 和 (a,b,c) 的叉积也在平面上，从而可以用 a,b,c 表示出平面。

(p,q,r,0)T=1(c?a2+b2+c2??????????√)2+a2+b2?????????????????????????√(a,b,c?a2+b2+c2??????????√,0)T

此时可以从Householder矩阵写出4×4齐次反射矩阵，其前3×3主子矩阵是所要的反射：

????????????1?a2a2+b2+c2?ca2+b2+c2??????????√?aba2+b2+c2?ca2+b2+c2??????????√aa2+b2+c2??????????√?aba2+b2+c2?ca2+b2+c2??????????√1?b2a2+b2+c2?ca2+b2+c2??????????√ba2+b2+c2??????????√aa2+b2+c2??????????√ba2+b2+c2??????????√ca2+b2+c2??????????√????????????

旋转

如果是旋转，它就是，以两个向量 (0,0,1) 和 (a,b,c) 的叉积向量为旋转轴向量的旋转矩阵，旋转角是二者的夹角。然后，直接利用这里的公式即可。应该注意的是，旋转轴向量的符号与旋转角的符号应该匹配，所以，需要验算。

1(a2+b2)a2+b2+c2??????????√????????a2c+b2a2+b2+c2??????????√ab(c?a2+b2+c2??????????√)a(a2+b2)ab(c?a2+b2+c2??????????√)a2a2+b2+c2??????????√+b2cb(a2+b2)?a(a2+b2)?b(a2+b2)(a2+b2)c????????

小结

不论是反射平面经过原点的任意三维反射，还是旋转轴经过原点的任意三维旋转，都是正交矩阵。都可以先求齐次坐标下的一般 4×4 的齐次变换矩阵形式之后，直接截取其前 3×3 主子矩阵而得到欧氏坐标下的对应几何变换矩阵。

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