HYSBZ 1415 - 聪聪和可可

http://vjudge.net/problem/viewProblem.action?id=20613

题意：不用说了，中文题。

这个题可以用概率DP来做。

题中要求猫抓到老鼠的时间期望。分析一下这个过程，如果猫在每单位时间里第一步移动没有抓到老鼠，它还可以继续移动一次。对于确定老鼠的位置，注意猫的每次移动都是固定的，而老鼠的移动位置却是不定的。

令dp[i][j]表示猫在i位置老鼠在j位置时，猫抓到老鼠的期望。next[i][j]表示猫从i位置到j位置时走最短路径需要移动到的第一个结点位置。d[i]表示结点i的度。

这样首先看猫的当前位置，如果i==j即猫和老鼠在同一个点，那么猫不用移动了这时候猫已经抓到了老师，dp[i][j]=0。

如果不等，考虑如果猫在这两次移动中抓到了老鼠，如果猫第一步移动到了老鼠当前所在位置，即next[i][j]==j,或者猫第二步移动抓到了老鼠，即next[next[i][j]][j]==j,此时所用时间都是1，dp[i][j]=1。

其他情况，考虑猫在该单位时间内没抓到老鼠，此时的状态转移取决于老鼠的行动。老鼠可以移动到任意一个和j结点相连的点，也可以停留在j点，每种情况发生的概率是1/(d[j]+1),每次转移到的状态即dp[next[next[i][j]][j]][k](k取值j,或与j点直接连边的点），运用全期望公式即可。

这样记忆化搜索可解。

其中计算next[][]的过程可以用bfs预处理。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <vector>

#include <queue>

#include <algorithm>

#define ll long long

#define MAXN 30005

using namespace std;

int n,m;

vector<int> gl[1005];

bool vis[1005][1005];

double f[1005][1005];

int next[1005][1005];

struct Point

{

    int pos,from;

    Point(int a=0,int b=0):pos(a),from(b) {}

};

void bfs(int sst)

{

    bool vis[1005]= {0};

    queue<Point> que;

    que.push(Point(sst));

    while(!que.empty())

    {

        Point q=que.front();

        que.pop();

        for(int i=0; i<gl[q.pos].size(); ++i)

        {

            if(vis[gl[q.pos][i]]) continue;

            vis[gl[q.pos][i]]=true;

            int f;

            if(q.pos==sst) f=gl[q.pos][i];

            else f=q.from;

            que.push(Point(gl[q.pos][i],f));

            next[sst][gl[q.pos][i]]=f;

        }

    }

}

double dp(int i,int j)

{

    if(vis[i][j]) return f[i][j];

    vis[i][j]=true;

    int &p=next[i][j];

    if(i==j) return f[i][j]=0;

    if(p==j||next[p][j]==j) return f[i][j]=1;

    f[i][j]=0;

    for(int k=0; k<gl[j].size(); ++k)

        f[i][j]+=dp(next[p][j],gl[j][k]);

    f[i][j]+=dp(next[p][j],j);

    f[i][j]/=(gl[j].size()+1);

    f[i][j]++;

    return f[i][j];

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int st,ed;

    scanf("%d%d",&st,&ed);

    for(int i=0; i<m; ++i)

    {

        int x,y;

        scanf("%d%d",&x,&y);

        gl[x].push_back(y);

        gl[y].push_back(x);

    }

    for(int i=1; i<=n; ++i)

    {

        sort(gl[i].begin(),gl[i].end());

        bfs(i);

    }

    memset(vis,0,sizeof(vis));

    printf("%.3lf\n",dp(st,ed));

    return 0;

}

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