n个平面把空间最多分成几个部分?

题目:

解答:

1条直线可以把平面分成2部分,2条直线最多可以把平面分成4部分, 3条直线最多可以把平面分成几部分,4条直线呢?你能不能想出n条直线最多可以把平面分成几部分?

分析:要n条直线最多把平面分成若干部分,必须n条直线两两相交且无3条过同一点,记n条直线最多可以把平面分成an部分,第n条直线与前n-1 条直线最多有n-1个交点,这些交点把第n条直线分成n段,每一段把原来对应的部分分为两部分,所以从n-1条直线增加了1条直线共增加了 n 部分,

即an-an-1=n (n>1),

累加求和得an = 1/2 *(n*n+n+2)

1个平面把空间最多分成2个部分,2个平面把空间最多分成4个部分,3个平面把空间最多分成8个部分,4个平面把空间最多分成15个部分,那么n个平面把空间最多分成多少个部分?

分析:记n个平面最多可以把空间分成an部分,第n个平面与前n-1 个平面最多有n-1条交线,这些交线把第n个平面分成1/2 *(n*n-n+2)部分,每部分把对应的空间分为两部分,所以共增加了1/2 *(n*n-n+2) 部分,

an-an-1=1/2 *(n*n+n+2), (n>1)

累加求和得an = 1/6 * (n+1)(n*n - n + 6).

n个平面把空间最多分成个1/6 * (n+1)(n*n - n + 6)部分.

时间: 2024-10-09 20:31:10

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