面试题9、斐波拉契数列
题目：
输入整数n，求斐波拉契数列第n个数。
思路：
一、递归式算法：
利用f(n) = f(n-1) + f(n-2)的特性来进行递归，代码如下：
代码：
long long Fib(unsigned int n)
{
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return Fib(n-1) + Fib(n-2);
}
缺陷：
当n比较大时递归非常慢，因为递归过程中存在很多重复计算。
二、改进思路：
应该采用非递归算法，保存之前的计算结果，用空间换时间。
代码如下：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int num1 = 0;
int num2 = 1;
for(int i=2;i<n;i++)
{
int tmp = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = tmp;
}
printf("%d", num2);
}
相似题目：
1、青蛙跳台阶，一次可以跳1或者2格，共n阶台阶，问有多少种上台阶的方法？
思路：从后往前想，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，转换成同样的题目了。
2、矩形覆盖问题，用21的矩形来覆盖28的矩形，小矩形可以横着或竖着来覆盖，问有多少种方法去覆盖？
思路：横着覆盖就变成了f(8) = 1+f(8-2)，竖着变成f(8) = 1 + f(8-1)，所以f(8) = f(8-1) + f(8-2)。
转载来源：http://www.cnblogs.com/puyangsky/p/5826466.html
题目要求：
写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项。斐波拉契数列的定义如下：
参考资料：剑指offer第9题、编程之美2.9
题目分析：
方法1：递归法，效率很低，而且会计算很多重复；
#include <stdio.h>
#define uint64 unsigned __int64
uint64 Fibonacci(int n);
int main(void)
{
int n;
while(1)
{
printf("请输入n值：");
scanf("%d",&n);
printf("n = %d,Fibonacci(n) = %I64u\n",n,Fibonacci(n));
}
return 0;
}
uint64 Fibonacci(int n)
{
if(n <= 0)
return 0;
else if(n == 1)
return 1;
else
return (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));
}
方法2：迭代法，通过保存中间项避免重复计算，时间复杂度O(n);
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
int main(void)
{
int n,i = 0;
int x,y;
while(1)
{
printf("请输入n值：");
scanf("%d",&n);
assert((n >= 0) && (n <= 92));//用这种方法的n最大为92，否则就溢出了。
i = 0;
x = 0;
y = 1;
while(i < n)
{
y = x+y;
x = y-x;
i++;
}
if(n <= 0)
y = x;
printf("n = %d,Fibonacci(n) = %d\n",n,y);
}
return 0;
}
方法3：公式法，时间复杂度O(1),因为公式中引入了无理数，所以不能保证结果的精度；
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>
double Pow(double x,unsigned int n);
int main(void)
{
int n;
int fibo;
double a,b,c;
a = sqrt(5.0);
b = (1+a)/2;
c = (1-a)/2;
while(1)
{
printf("请输入n值：");
scanf("%d",&n);
assert((n >= 0));
int x = pow(b,n);
int y = pow(c,n);
fibo = (int)(a*(Pow(b,n)-Pow(c,n))/5);
printf("n = %d,fibonacci(n) = %d\n",n,fibo);
}
return 0;
}
double Pow(double x,unsigned int n)
{
double result = 1;
while(n)
{
if(n & 0x01)
result *= x;
x = x*x;
n >>= 1;
}
return result;
}
方法4：分治策略，可以用矩阵来表示
,则
,(这个式子是通过计算A、A2、A3、、、观察出来的)其中
，则上面这个式子可以表示为：
则F2 = Y2_11 = A（11表示矩阵的第1行1列元素）.
现在剩下的问题就是求An了，可以把n用二进制表示：n = ak*2^k + ak-1*2^k-1 + ... + a1*2 + a0，其中ai = 0 或1 ，i = 0,1,2... k。例如：n = 5 = b’101 = 1*22 + 0*21+1*20。这样
则，我们知道An最多经过log2n乘法就能够得到，而不用A*A*A这样计算n次。
代码实现：
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
const int MAXLENGTH = 10;
struct Matrix
{
unsigned side;
__int64 dat[MAXLENGTH*MAXLENGTH];//也可以用行/列来表示(row、line)，会更方便一点。
};
// 方阵的乘法
void MatrixMult(const Matrix a, const Matrix b, Matrix &m)
{
unsigned int i,j,k;
assert(a.side == b.side);
m.side = a.side;
for (i=0; i < m.side; ++i)
for (j=0; j < m.side; ++j)
{
m.dat[i*m.side+j] = 0;
for (k=0; k<m.side; ++k)
m.dat[i*m.side+j] += a.dat[i*a.side+k]*b.dat[k*b.side+j];
}
}
__int64 Fibonaci(unsigned n)
{
if (n==0)
return 0;
--n; // 计算矩阵prod的n-1次幂
Matrix res;
res.side = 2;
res.dat[0] = 1; res.dat[1] = 0;
res.dat[2] = 0; res.dat[3] = 1;
Matrix prod;
prod.side = 2;
prod.dat[0] = 1; prod.dat[1] = 1;
prod.dat[2] = 1; prod.dat[3] = 0;
// 只需要O(logn)的复杂度就能算出x的n次幂
while (n)
{
// 如果n的最低二进制位为1，则乘上对应的幂次prod
if (n&1) MatrixMult(res, prod, res);
MatrixMult(prod, prod, prod);
n >>= 1;
}
return res.dat[0];
}
int main(void)
{
int i;
for(i = 0;i < 20;i++)
{
printf("%I64u\n",Fibonaci(i));
}
return 0;
}
转载来源：http://www.cnblogs.com/tractorman/p/4058305.html