置换群有两种形式：乘法型和循环型，我称其为上下型和左右型，上下型即为上转换为下，左右型即为左转换为右；
两不相交的循环乘积可交换；
在一个循环型的置换群G中，
数K的不动置换类为该置换群中不包含数K的循环的集合记作Zk，
数K的等价类为该置换群中与K相互转换的数的集合记作Ek；
有一结论，|Zi|*|Ei|=|G|，绝对值表示集合中元素的个数；
Ci(ak)表示置换ak中i阶循环的个数，|Zi|=C1(ai);
Burnside引理：一个置换群在N上可引出不同等价类的数目=所有置换群中保持不动的元素个数的总和对|G|取平均值；即L=(sigma|Zi|)/|G|；
Burnside引理需要枚举所有情况后再计算数目，而波利亚定理通过直接计算不动元素的个数计算出不同等价类数目；
波利亚定理：设G是n个对象的一个置换群,用m种颜色涂染这n个对象，不同的染色方案数L=(m^(C(g1))+m^(C(g2))+……+m^(C(gk)))/|G|;
其中G={g1,g2,...gk},C(gi)为置换gi的循环节数；
时间： 2024-10-10 22:22:24