跳格子问题——阿里笔试

有1,2,3,......无穷个格子，你从1号格子出发，每次1/2概率向前跳一格，1/2概率向前跳两格，走到格子编号为4的倍数时结束，结束时期望走的步数为____。

• 2
• 12/5
• 14/5
• 16/5
• 18/5
• 4

这个问题，很显然考察的是递归问题：

定义step(i,j)为第i号格子带第j号格子的期望值；

step(1,4)为从第一格跳到第四格的期望，要到第四格，则只能先到第二格（期望0.5*（step(1,2)+1)）或者是第三格（期望0.5*（step(1,3)+1)）；其中1表示到达第2格或者第3个之后，跳到第4格还需要1步。

故有

step(1,4)=0.5*（step(1,2)+1)+0.5*（step(1,3)+1)=1+0.5*(step(1,2)+step(1,3))

同理有

step(1,3)=1+0.5*step(1,1)+0.5*step(1,2)

step(1,2)=1+0.5*step(1,1)+0.5*step(1,4)

step(1,1)=0

联立方程，得到

step(1,4)期望为18/5，选E。

也可以用计算机求概率，如：

/**
 *  项目名称：
 *  文件说明：
 *  主要特点：
 *  版本号：1.0
 *  制作人：lcx
 *  创建时间：2015-8-25
 **/

/**
 * @author lcx
 *
 */
public class PaceTest {

	static Random rand=new Random();
	public static int pace()
	{
		return (int) (rand.nextDouble()*2+1);
	}

	public static void main(String[] args) {
		double sum=0;
		int times=10000;//实验10000次
		for(int i=0;i<times;i++)
		{
			int index=1;
			int pace=0;
			while(index%4!=0)
			{
				index+=pace();
				pace++;
			}
			sum+=pace;
		}
		System.out.println("期望值为: "+sum/times);
	}
}

追问1，若本题是从2开始，则期望多少？

同样的方法：

step(2,4)=1+0.5*step(3,4)

step(2,3)=0.5+0.5*(1+step(2,1))

step(2,1)=1+0.5*step(2,3)+0.5*step(2,4)

step(2,2)=0

最终求出

step(2,4)=12/5

追问2，若本题是3的倍数就停止，则期望为多少？

同样方法计算，期望值为2。

本题归根到底是利用递归思想。类似的题目还有青蛙跳问题、摆瓷砖问题（编程之美）等。

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