【数论】7041125因子数

因子数    

好长时间没有发题解了，今天刷完作业来一发……

    显然会炸Long Long，那么即使杨辉三角打表也不行。

    有一个公式为：C(N,M)=N!/M!(N-M)!

    将其做一个变形，就是C(N,M)=M+1~N连乘/(N-M)!

    注意，M+1乘到N与(N-M)！是不一样的。

    然后两个循环，将它们的质因子数记录到一个数组里。

    最后质因子指数加一再连乘，就得到答案了

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int ks[1001];
int N,M;
void fj(int k){
    int num=2;
    while(k!=1){
        if(k%num==0) k/=num,ks[num]++;
        else num++;
    }
    return ;
}
void fj2(int k){
    int num=2;
    while(k!=1){
        if(k%num==0) k/=num,ks[num]--;
        else num++;
    }
    return ;
}
void Num(int N,int M){
    for(int i=M+1;i<=N;i++) fj(i);
    for(int i=1;i<=N-M;i++) fj2(i);
    return ;
}
int main(){
    while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF){
        memset(ks,0,sizeof(ks));
        long long ans=1;
        Num(N,M);
        for(int i=1;i<=N;i++) ans*=(ks[i]+1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}

如果有需要，我们也可以将程序用线性筛优化一下：

    （然而测评机太慢，给的运行时间与上一个一样……）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int ks[501];
int map[501];
int mark[501];
int tot;
int N,M;
void work(int k,int p){
    int num=1;
    while(k!=1){
        if(k%map[num]==0) k/=map[num],ks[map[num]]+=p;
        else num++;
    }
    return ;
}
void eular(){
	mark[1]=1;
	for(int i=2;i<=500;i++){
		if(!mark[i]) map[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(i*map[j]>500) break;
			mark[i*map[j]]=1;
			if(i%map[j]==0) break;
		}
	}
	return ;
}
void Num(int N,int M){
    for(int i=M+1;i<=N;i++) work(i,1);
    for(int i=1;i<=N-M;i++) work(i,-1);
    return ;
}
int main(){
	eular();
    while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF){
        memset(ks,0,sizeof(ks));
        long long ans=1;
        Num(N,M);
        for(int i=1;i<=N;i++) ans*=(ks[i]+1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}