在研究组合数学的时候，常常能够碰见要求生成全排列的情况。下面来简单探讨全排列的递归生成算法。
现有一个序列（1,2,3）,将其命名为序列S<a1,a2,a3>, 假定A(a1,a2,a3) 为这个序列的全排列，那么我们可以得到如下若干序列：
<a1,A(a2,a3)> ①
<a2,A(a1,a3)> ②
<a3,A(a1,a2)> ③
我们再来看①，她还可以展开成如下两个序列：
<a1,a2,A(a3)> ⑤
<a1,a3,A(a2)> ⑥
那么⑤也就等价于下面这个序列：
<a1,a2, a3> ⑦
同理，①②③全部展开的时候可以得到6个序列。
如果是序列是n个元素的话，那么可以展开得到n!个序列。
由⑤→⑦我们就容易观察出，当A排列被不断地缩小至只有一个元素的时候，就得到了S序列的全排列中的一个。
其次，同时观察⑤⑥两式的时候，我们可以得到两式的最后两个元素其实是互相交换的关系。
那么到这一步我们也就不难得到递归代码了。
但是，仅仅是上面的思想并不能很完美的解决全排列的问题，数学上讲求互异性，上面的思想在一个所有元素均互异的序列里能得到完美的结果，但是如果序列不能保证所有元素互异，那么就会产生重复的序列了，这显然不够优美！
如何改进呢？
前面说到只有在序列中存在相同元素的时候，上面的思想才会产生重复的序列，那么是在哪一步出的问题呢？
请注意到在上述的①式展开变到⑤式和⑥式的时候，假设a1和a2相等，那么⑤式和⑥式只要输出其一即可了。
所以呢，在产生全排列A(ai,ai+1,...,aj-1)的时候，如果有aj和ak,(i<=k<j)相等,那么A(ai,ai+1,...,aj)里就必有重复序列！
比如，对于输入的1,3,2，会输出下一个字典序排列2,1,3
算法的大致思路如下：
(1)对于输入的字典许排列<a1,a2,…,an>，反向查找第一对满足a[j]<a[j+1]的下标j
(2)仍旧反向查找一个下标k，使得 a[j]<a[k]并且a[k]=min{a[t] | any t, a[j]<a[t]}
(3)交换a[j]和a[k]
(4)使得a[i+1..n]按递增排列
说完思路，重点是分析。
第一步是根据字典序定义进行的。
而在找到满足条件的j后，有一个隐藏的性质，即：a[j+1..n]是（非严格）单调递减排列的，这点可以由反证法结合第一步导出矛盾来证明。所以第二部中只需要查找第一个满足条件的k，也满足了最小值原则。
在第四步中，由于上面逆序条件可知，递增排列性质只需要逆置a[j+1..n]即可。
接下来考虑两个意外情况：(1)元素重复 (2)输入已经是最后一个字典序排列
其实第一个问题已经得到了解决，因为第一步中我们要满足的条件是严格的小于。并且因为这个断言，我们在第二步中查找满足条件的k时，是一定可以找到这样的k的
第二个问题比较隐蔽，如果输入已经是最后一个字典序，亦即是一个单调递减排列，那么第一步会直接越界。解决方法只需要简单保证j非负即可。
另外，如果要用这个算法产生全排列，那么只需要保证输入排列是第一个字典序，即单调递增排列即可。
1 #include <cstdio>
2 #include <algorithm>
3 #include <iostream>
4 using namespace std;
5
6 /*最简单的版本，但是可能会产生重复的序列*/
7 template<class T>
8 void ToPermu(T A[], int l, int r) {
9 if (l == r) {
10 for (int i=0; i<=r; i++)
11 cout << A[i] << " ";
12 cout << endl;
13 return;
14 } for (int i=l; i<=r; i++) {
15 swap(A[l], A[i]);
16 GenePermu(A, l+1, r);
17 swap(A[l], A[i]);
18 }
19 }
20
21 template<class T>
22 bool Check(T A[], int i, int j) {
23 for (int t=i; t<j; t++)
24 if (A[t] == A[j])
25 return false;
26 return true;
27 }
28
29 /*全排列的升级版，可以去除掉重复序列的情况*/
30 template<class T>
31 void ToPermuPro(T A[], int l, int r) {
32 if (l == r) {
33 for (int k=0; k<=r; k++)
34 cout << A[k] << " ";
35 cout << endl;
36 return;
37 } for (int k=l; k<=r; k++) {
38 if (Check(A, l, k))
39 continue;
40 swap(A[k], A[l]);
41 GenePermuPro(A, l+1, r);
42 swap(A[k], A[l]);
43 }
44 }
45
46 /*判断是否还有下一个字典序*/
47 bool NextPermutation(int A[], int n) {
48 int j = n - 2;
49 while (A[j] >= A[j+1] && j>=0)
50 --j;
51 if (j < 0)
52 return false;
53 int i = n - 1;
54 while (A[j] >= A[i])
55 --i;
56 swap(A[j], A[i]);
57 int l = j + 1;
58 int r = n - 1;
59 while (l < r)
60 swap(A[l++], A[r--]);
61 return true;
62 }