最优子序列双射算法(optimal subsequence bijection OSB)

introduction

最近在做关于骨架匹配的东西，在骨架匹配中很重要的一点就是将相同类型的骨架点匹配在一起：

如上图所示，骨架匹配的关键就是将图中 1 2 3 .... A B C D ... a b c d ...等这些点按同类型聚合起来，马头对应马头，马尾对应马尾。注意到，在上面一排第一个骨架图中有一个异常点“9”，它与另外两个骨架图中的任意一个节点都不对应。

我们将问题简化一下，将骨架节点简化成实数序列，考虑如下两个序列：a={1 2 3 5} b={1 2 3 4 5} ，现在让你将两个序列匹配起来，你给的结果是什么？注意到b序列中存在一个异常点"4"，a中没有任何一个数字与它对应，我想正常人给出的匹配结果应当是：(1 1) (2 2) (3 3) (5 5),b序列中的4被跳过。实际上所谓的匹配最终得到的结果两个匹配的序列之间的“距离”达到最小，而跳过某一序列的一个元素无疑会增加量序列之间的距离，于是OSB算法为跳过的元素会增加额外的“距离”，或者说额外的“惩罚”，这里的距离指的是两个序列之间的相似程度，这个相似程度根据需求不同而不同，如果是纯的实数序列，那两个数之差的绝对值即可认为是两元素的距离，所有元素距离只和认为是序列距离，在其他情况下可能会有更多的距离表示。

本文将介绍一种叫做"最优子序列双射"的算法专门处理这种存在异常点的序列的匹配问题，在数据挖掘等领域使用十分广泛。

首先我们考虑下什么叫所谓的匹配，匹配好坏的度量是什么？当a={1 2 3 5} 和 b={1 2 3 4 5}做匹配的时候，最终的匹配结果应当是两个序列对应元素很相似，也就是得到的序列“距离”最短，这里的距离只是相似度的度量，并非欧氏空间中的距离。所有最优匹配也就是实现序列距离最近的匹配。下面介绍OSB算法如何实现最短距离的匹配。

首先假设有两个序列 a={a₁ a₂ ... a_m} b={b₁ b₂ ... b_n} 注意到两个序列不等长，定义两个元素之间的距离为d，在原文献中距离d没有特别的规定，这里不妨认为实数abs(a_i-b_j)为两元素的距离，表示为d(a_i-b_j),最优子序列双射(OSB)算法的实现是在一个无环有向图中寻找最短距离实现的，有向图的节点为序列对(a_i,b_j),对 a={a₁ a₂ ... a_m} b={b₁ b₂ ... b_n}两个序列而言，有向图的节点就有m*n个，节点(a_i,b_j)与节点(a_k-b_l)之间的边长(权值)为：