[XSY 1549] 冒泡排序

题意

　　我们对序列 A 进行如下的冒泡排序.

m = 0;
while (!sorted(A)) {
    m++;
    for (int i = m-1; i >= 1; i--)
        if (A[i] > A[i+1])
            swap(A[i], A[i+1]);
}

　　我们定义 m 为对 A 进行冒泡排序的难度.

　　求在所有满足排序难度为 m 的 [1, n] 的排列中, 字典序第 K 小的排列.

　　0 <= m <= n-1 < 20 .

　　保证 K 合法.

分析

　　记 $d_i = \sum_{j}[i < j][a_i > a_j]$ , 即以 i 为左端点的逆序对数.

　　我们通过观察可以发现, 排序难度即为 $\max_i d_i$ .

　　现在相当于找逆序对数的最大值为 m 的第 K 个排列.

　　我们先研究一下, 逆序对数为 m 的排列个数, 记作 G(n, m) .

　　我们考虑差分, 设逆序对数不超过 m 的排列个数为 g(n, m) .

　　当 n < m 时, g(n, m) = n! ; 当 n >= m 时, g(n, m) = m! (m+1) ^ {n - m} .

　　当 m = 0 时, G(n, m) = g(n, m) ; 当 m > 0 时, G(n, m) = g(n, m) - g(n, m-1) .

　　接下来的做法类似数位DP .

　　我们考虑从高位到低位, 枚举每一位的取值, 算个数, 若个数多于 K , 那么减去, 否则确定.

　　我们发现, 之后若有 n 个数, 不用管数值是多少, 直接离散成 1 ~ n 即可.

　　需要记录一个 tag , 表示当前是否取到 m , 注意当前位只能取 1 ~ min(bit, m+1) .

实现

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cctype>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define F(i, a, b) for (register int i = (a); i <= (b); i++)
 8 #define LL long long
 9
10 const int N = 25;
11
12 int n, m; LL K;
13 bool v[N]; int List[N];
14
15 inline LL Pow(int x, int y) { LL mul = 1; F(i, 1, y) mul *= x; return mul; }
16 inline LL Fac(int x) { LL mul = 1; F(i, 1, x) mul *= i; return mul; }
17 inline LL g(int n, int m) { return m >= n ? Fac(n) : Fac(m) * Pow(m+1, n-m); }
18 inline LL G(int n, int m) { return !m ? g(n, m) : g(n, m) - g(n, m-1); }
19 // 0 <= m <= n-1 < 20
20
21 inline void Mark(int bit, int w) {
22     for (int x = 0, cnt = 0; x < n; ) {
23         cnt += !v[++x];
24         if (cnt == w) { v[x] = true, List[bit] = x; return; }
25     }
26 }
27
28 int main(void) {
29     #ifndef ONLINE_JUDGE
30         freopen("bubble.in", "r", stdin);
31     #endif
32
33     scanf("%d %d %lld", &n, &m, &K);
34
35     bool Gain = false;
36     for (int bit = n; bit >= 1; bit--) {
37         bool done = false; int w;
38         for (w = 1; w < min(m + 1, bit) && !done; w++) {
39             LL cnt = (Gain ? g(bit-1, m) : G(bit-1, m));
40             if (K <= cnt) done = true; else K -= cnt;
41         }
42         done ? w-- : Gain = true;
43         Mark(bit, w);
44     }
45
46     for (int bit = n; bit >= 1; bit--)
47         printf("%d ", List[bit]);
48     puts("");
49
50     return 0;
51 }