11. (Ky Fan) 对于 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 证明: $$\bex \Re \lm(A)\prec \lm(\Re A), \eex$$ 其中 $\lm(A)$ 表示 $A$ 的特征值作成的向量, $\Re\lm(A)$ 表取 $A$ 的特征值的实部所得向量.
证明:
(1). 先证明对 Hermite 阵 $H$, 若它的特征值为 $$\bex \lm_1\geq \cdots\geq \lm_n, \eex$$ 则 $$\bex \sum_{i=1}^k \lm_i =\max_{\sen{x_i}=1\atop i=1,\cdots,k} \sum_{i=1}^k \sef{Hx_i,x_i}. \eex$$ 事实上, 由 $H$ 为 Hermite 阵知存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex U^*HU=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n). \eex$$ 若记 $U=(u_1,\cdots,u_n)$, 则 $$\bex \sum_{i=1}^k \sef{Hu_i,u_i}=\sum_{i=1}^k \lm_i. \eex$$ 另一方面, 对任一适合 $\sen{x_i}=1$ 的向量组 $x_1,\cdots,x_k$, 可设 $$\bex x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}u_j,\quad \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2=1, \eex$$ 而 $$\beex \bea Ax_i&=\sum_{j=1}^n a_{ij}\lm_ju_j,\\ \sef{Ax_i,x_i}&=\sef{ \sum_{j=1}^n a_{ij}\lm_ju_j,\sum_{l=1}^n a_{il}u_l}\\ &=\sum_{j,l=1}^n a_{ij}\bar a_{il}\lm_j\sef{u_j,u_l}\\ &=\sum_{j=1}^n a_{ij}\bar a_{ij} \lm_j\\ &=\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \lm_j\\ &=\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \lm_k +\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k)\\ &=\lm_k +\sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k) +\sum_{j=k+1}^n |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k)\\ &\leq \lm_k +\sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2 (\lm_j-\lm_k),\\ \sum_{i=1}^k \sef{Ax_i,x_i} &\leq k\lm_k +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k |a_{ij}|^2(\lm_j-\lm_k)\\ &\leq k\lm_k+\sum_{j=1}^k (\lm_j-\lm_k)\sum_{i=1}^k |a_{ij}|^2\\ &\leq k\lm_k+\sum_{j=1}^k (\lm_j-\lm_k)\\ &=\sum_{j=1}^k \lm_j. \eea \eeex$$
(2). 再证题目. 由 $A\in M_n$ 及 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $V$ 使得 $$\bex V^*AV=\sex{\ba{ccc} \lm_1(A)&&*\\ &\ddots&\\ &&\lm_n(A) \ea}. \eex$$ 记 $V=(v_1,\cdots,v_n)$, 则 $$\bex \sef{Av_i,v_i}=\lm_i(A). \eex$$ 于是对 $1\leq k\leq n$, $$\beex \bea \sum_{i=1}^k \Re \lm_i(A) &=\sum_{i=1}^k \frac{\lm_i(A)+\overline{\lm_i(A)}}{2}\\ &=\sum_{i=1}^k \frac{1}{2}\sef{Av_i,v_i} +\frac{1}{2} \overline{\sef{Av_i,v_i}}\\ &=\sum_{i=1}^k \frac{1}{2}\sef{Av_i,v_i} +\frac{1}{2}\sef{A^*v_i,v_i}\quad\sex{\overline{\sef{Av_i,v_i}} =\sef{v_i,Av_i}=\sef{A^*v_i,v_i}}\\ &=\sum_{i=1}^k \sef{\frac{A+A^*}{2}v_i,v_i}\\ &=\sum_{i=1}^k \sef{\Re A v_i,v_i}\\ &\leq \sum_{i=1}^k \lm_i(\Re A)\quad\sex{\mbox{由 (1)}}. \eea \eeex$$