1. ($15'$) 设 $A$ 是数域 $\bbP$ 上的 $r\times r$ 阶矩阵, $D$ 是 $s\times s$ 阶矩阵, $\dps{M=\sex{\ba{cc} A&B\\ C&D \ea}}$, 并且 $\rank(M)=\rank(A)=r$. 证明: $D=CA^{-1}B$. 证明: 由 $\rank(A)=r$ 知 $A$ 可逆, 而又由 $$\bex \sex{\ba{cc} E&0\\ -CA^{-1}&E \ea}\sex{\ba{cc

1. ($45'=10'+10'+10'+15'$) 求下列极限或指定函数的值: (1) 求 $\dps{\vlm{n}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}}$; (2) 求 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{5}{6}\cdots \frac{2n-1}{2n}}}$; (3) 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sez{\sex{x^3-x^2+\frac{x}{2

A. 寻找字符串 对于一个字符串 s,定义一个函数 S(x),表示 s 中有多少个子串 x.现在给定 S(a),S(b),S(ab),S(ba)的值,求满足这 4 个值的字符串 s,如果有多个满足条件的字符串,输出字典序最小的. s 中仅可能含有字符 a 和 b. 任何一个串的 S(ab) 与 S(ba) 的相差都不会超过1.可以分 S(ab)-S(ba) 为 0 -1 1 三种情况讨论.先构造出相应的 ab 相邻的串,再考虑按照字典序最小出要求将剩余的字母插入串中即可. 应该注意,这道问题有很

1. ($24'$) 求下列极限 (要有主要计算步骤) (1) $\dps{\vlm{n} \sex{\cfrac{1}{n^2+n+1}+\cfrac{2}{n^2+n+2}+\cfrac{3}{n^2+n+3}+ \cdots+\cfrac{n}{n^2+n+n}}}$; (2) $\dps{\lim_{n\to\infty}\cfrac{n^n}{3^n\cdot n!}}$; (3) $\dps{\lim_{x\to 0} \cfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\

1. ($16'$) 求下列极限: (1) $\dps{\vlm{n}(n!)^\frac{1}{n^2}}$. (2) $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, 恒不为零, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1}{3^x-1}}$. 解答: (1) 由 $$\bex \frac{\ln n!}{n^2}<\frac{\ln n^n}{n^2}=\frac{\ln n}{n}\to 0\quad\sex{n\to\infty}

1. ($15'$) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是数域 $\bbP$ 上的 $n$ 个不同的数, 解线性方程组 $$\bex \ba{rrrrrrrrl} x_1&+&x_2&+&\cdots&+&x_n&=&1\\ a_1x_1&+&a_2x_2&+&\cdots&+&a_nx_n&=&a_n\\ a_1^2x_1&+&a_2^2x_2&am

1. ($50'=10'+10'+15'+15'+15'$) 求下列极限 (1) $\dps{\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{\sin^2x}}$. (2) $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} +\cdots+\frac{1}{n}}}$. (3) $\dps{\lim_{x\to +\infty} x^\frac{7}{4}\sex{\sqrt[4]{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-2\sqrt[4

来自xulu1352 一. (1)证明:由${{x}_{1}}=\frac{1}{2},{{x}_{2}}=\frac{3}{8},{{x}_{3}}=\frac{55}{128},\cdots $,猜测$\{{{x}_{2n+1}}\}$单调递减,$\{{{x}_{2n}}\}$单调递增 下用数归法先证$\sqrt{2}-1\le {{x}_{2n+1}}\le \frac{1}{2},\frac{3}{8}\le {{x}_{2n+1}}\le \sqrt{2}-1$ (1)当$n=1$时,

1. ($30'$) 计算题. (1) $\dps{\lim_{x\to 1} \frac{\sin^2(x-1)\sin\frac{1}{x-1}}{e^{x-1}-1}}$. (2) 设 $y=x^x+a^x$, 求 $y'$. (3) $\dps{\int \sex{\ln\ln x+\frac{1}{\ln x}}\rd x}$. (4) 设 $\dps{f(x,y)=x^y+(y-1)^2\arcsin\sqrt{\frac{x}{y}}}$, 求 $f_x'(x,1)$. (5) $