基本概念
AVL树:树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。
AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
AVL实现
AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字,是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02)
left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height --
是高度。即空的二叉树的高度是0,非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1,根的子节点为第2层,依次类推)。
AVL旋转算法
AVL失衡四种形态:
LL(根的左子树的左子树高):根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2。
LR(根的左子树的右子树高):根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2。
RL(根的右子树的左子树高):根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2。
RR(根的右子树的右子树高):根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2。
旋转算法实现
1 LL(一步到位)
LL失去平衡的情况,可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转,你可以这样理解为:LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的,也就是节点k2;而且由于是LL情况,即左左情况,就用手抓着"左孩子,即k1"使劲摇。将k1变成根节点,k2变成k1的右子树,"k1的右子树"变成"k2的左子树"。
/*
* LL:左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值:旋转后的根节点
*/
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
AVLTree k1;
k1 = k2->left;
k2->left =
k1->right;
k1->right = k2;
k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left),
HEIGHT(k2->right)) + 1;
k1->height = MAX(
HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;
return k1;
}
2 RR(一步到位)
理解了LL之后,RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况!RR恢复平衡的旋转方法如下:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。
/*
* RR:右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值:旋转后的根节点
*/
static Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
{
AVLTree k2;k2 = k1->right;
k1->right = k2->left;
k2->left = k1;k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left),
HEIGHT(k1->right)) + 1;
k2->height = MAX(
HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;return k2;
}
3 LR(两步旋转RR->LL)
LR失去平衡的情况,需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:
第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转",第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。
/*
* LR:左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值:旋转后的根节点
*/
static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
k3->left = right_right_rotation(k3->left);return left_left_rotation(k3);
}
4 RL(两步旋转LL->RR)
RL是与LR的对称情况!RL恢复平衡的旋转方法如下:
第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转",第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。
/*
* RL:右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值:旋转后的根节点
*/
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
k1->right = left_left_rotation(k1->right);return right_right_rotation(k1);
}
AVL操作
插入
步骤1:递归插入到左子树或右子树(left<root<right);
步骤2:比较左右子树高度来确定AVL失衡处理类型:
插入到左子树,就有LL和LR:通过left<root<right确定;
插入到右子树,就有RL和RR:通过left<root<right确定;
步骤3:修正树高。