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前面两篇回归（一）（二）复习了线性回归，以及L1与L2正则——lasso和ridge regression。特别描述了lasso的稀疏性是如何产生的。在本篇中介绍一下和lasso可以产生差不多效果的两种feature selection的方法，forward stagewise selection和最小角回归least angle regression（LARS）。尤其是LARS，网上很多资料写的不太清楚，我尽量写的清楚一点。本文主要是参考[1]的前面几章，大家可以直接看原文写的更清楚。
关于特征选择feature selection
在很多实际应用中，我们往往需要处理大量高维数据，其中存在很多噪音或者不相关的属性；而且维度越高计算量也越高。大多数工程师都会想到做一下特征选择，即挑选一部分有价值的属性维度用于计算，以期望在提高准确性的同时降低计算复杂度。那么如何进行特征选择呢？
一般来说可以分为有监督和无监督两大类，无监督的方法就是普适性的了，一般是希望从数据的分布、或者局部结构来找到区分性最好的属性，但是就是因为是无监督的，肯定不会对你所需要的任务有特别的倾向，选出来的不一定是最合适的特征。而有监督的选择肯定会基于训练样本的标记，使得选出来的特征会适合特定的任务，但是很难用到其他问题中。特征选择这个topic说实话被水了很多年，真正有价值的不见得多——很多以前觉得计算能力不足的问题选择随着CPU/GPU的性能提升，不再是瓶颈，那么很多降维的需求就没有了。现在还要做特征选择，一方面是希望找到真正有用的特征，另一方面是希望“稀疏”，事实证明稀疏性在提高模型的准确性以及降低overfitting方面都很有作用。
如果要看无监督的feature selection可以看一下浙大蔡登教授的Unsupervised Feature Selection for Multi-cluster Data [2]，方法简单实用；在本文中，我们主要讨论两种有监督的选择方法，并且是基于greedy思想的。这两个方法和LASSO非常相关，上一篇中我也提过，LASSO本身也可以用来做特征选择。
问题描述
在本文中，用下图中的数据为例子来说明：
表 1
用X=(x1,x2,...,xn)T∈Rn×m表示数据矩阵，其中xi∈Rm表示一个m维度长的数据样本；y=(y1,y2,...,yn)T∈Rn表示数据的label，这里只考虑每个样本一类的情况。在表1的例子中，n=442，m=10。另外，假设数据是经过一些预处理的：样本中心化并且是列单位长度的，y是中心化的（减去均值），即
∑i=1nyi=0,∑i=1nxij=0,∑i=1nx2ij=1，j=1,2,…,m.
我们希望找到一个回归系数β^∈Rm，使得μ^=Xβ^。Lasso的优化目标是这样的：
minβ^=12∥y?μ^∥2,s.t.∑j=1m|βj^|≤t
其中参数t≥0。很明，当t不断增大的时候，对β^约束力就越来越小，当大到线性回归的β^的l1-norm的时候就没有约束力了。见图1左边，表示t不断增大的过程中，所有十个βj^的变化过程。很容易发现，在t比较小的时候，回归系数是稀疏的。比如在t=1000时，只有3、9、4、7维度是非零的。
图1
forward stagewise selection
forward stagewise selection方法，下面简称为stagewise，是一个迭代算法。选择过程从μ^=0开始，并且不断向前走很小的step来完成回归模型（回归系数）。具体的过程如下：
令当前的回归预测是μ^，定义c(μ^)为当前的相关系数（current correlations）：
c=c(μ^)=X′(y?μ^)
也就是说，c^j是正相关于维度xj∈Rn和当前残差的相关度。所以，下一步就是往相关系数最大的维度方向走一小步：
j^=argmax|c^j|andμ^→μ^+??sign(c^j^)?xj^
其中?是一个很小的常数——很小是很有必要的，如果很大的话就容易错过一些中间状态——比如，如果?=|c^j^|这么大的话stagewise方法就退化到了经典的“Forward Selection ”方法，是完全贪心选择的一次一个特征维度。但是在stagewise中，每次只会走很小一步，所以有可能在一个方向上走多步。图1的右图是stagewise的所有βj^变化过程，大概有六千步很小的迭代，使得变化看起来很光滑。可以看到，Lasso和stagewise的结果看起来“几乎”是一样的，在比较小的t的时候都会产生类似的稀疏的结果。
stagwise方法非常简单，易于实现，但是主要的问题是需要有大量的迭代步骤，因此计算量会比较大。事实上，不论是Lasso还是Stagewise方法都是Least angle regression（LARS）的变种。LARS的选择不需要经历那么多小的迭代，可以每次都在需要的方向上一步走到最远，因此计算速度很快，下面来具体描述一下LARS。
最小角回归Least angle regression,LARS
先用一个两维的例子来描述LARS的思路，后面再描述下任意维度下的统一算法。
LARS算法也是要得到形式为μ^=Xβ^的预测值，对于m维度的数据，最多只要m步就可以把所有的维度都选上，因此在迭代次数上是非常小的。下面图2说明了LARS在2维数据下的选择过程，X=(x1，x2)。
图2
对于前面一节提到的相关系数，我们可以把y等价替换成其在由x1，x2所张成的空间中的投影yˉ2，即
c=c(μ^)=X′(y?μ^)=X′(yˉ2?μ^)
算法也是从μ^0=0开始的，从图2可以看出，yˉ2?μ^0显然更靠近x1，也就是说，c1(μ^0)>c2(μ^0)，于是LARS会选x1走一步，使得
μ^1=μ^0+γ^1x1
（在这里，如果是stagewise就选很小的γ^1；而如果是Forward Selection，会选择一个足够大的γ^1使得μ^1=yˉ1,即y在x1方向上的投影。）LARS会选择上面两个情况的一个中间结果——刚好使得yˉ2?μ^1可以平分x1和x2之间的夹角，因此，c1(μ^1)=c2(μ^1)。 图2中可以看到上面的选择结果，yˉ2?μ^1是坐落在单位向量u2的方向上的。下一步LARS的更新方向是：
μ^2=μ^1+γ^2u2
在m=2的情况下，γ^2是需要选择合适的大小使得μ^2=yˉ2，得到线性回归的结果。如果m>2的情况下，LARS会继续探索更多的方向。图2中阶梯线表示stagewise的一个迭代过程，最后也攀爬到yˉ2。因此，其实LARS和stagewise的区别就在于，我们是可以计算出在一个方向上需要走多远的。
下面我们来讨论一下多维情况，和前面m=2一样，LARS的每一步都是沿着某一个角平分线的方向上走的。假设X的列向量x1,x2,…,xm都是线性无关的。记A是{1,2,…,m}的一个子集，定义矩阵
XA=(?sjxj?)j∈A
其中符号sj=±1。定义GA=XTAXA，以及AA=(1TAG?1A1A)?1/2。其中1A表示全1向量，长度和A中的元素个数一样。对于XA的角平分线方向上的单位向量uA可以表示为：
uA=XAwA,wA=AAG?1A1A
使得和每一个xj都有相同的角度（小于90度），并且
XTAuA=AA1A,and∥uA∥2=1
上面的可以当做结论，可以跳过证明部分。
证明:
1、首先uA肯定可以表示成XA的线性组合形式uA=XAwA,这里向量wA还是未知的；
2、uA平分X_{\mathbf{A}}XA，也就是说
XTAuA=XTAXAwA=z?1A
其中z是一个常数，则wA=z(XTAXA)?11A；并且∥uA∥2=1，所以
z21TA(XTAXA)?1XTAXA(XTAXA)?11A=1z=(1TA(XTAXA)?11A)?1/2
得证。
好，接下来可以给出LARS的统一过程了。
假设当前步骤下LARS的预测结果是μ^A，所以要求当前的相关系数：
c^=c(μ^A)=X′(y?μ^A)
集合A是其中拥有最大（绝对值）相关系数的维度的标号集合。
C^=maxj{|c^j|}andA={j:|c^j|=C^}
根据之前分析的，我们可以计算出
XA=(?sjxj?)j∈A
AA=(1TAG?1A1A)?1/2,GA=XTAXA
uA=XAwA,wA=AAG?1A1A
同时定义:
a=X′uA
那么下一步LARS更新μ^A会采用:
μ^A+=μ^A+γ^uA
γ^=min+j∈Ac???C^?c^jAA?aj,C^+c^jAA+aj???.
其中min+表示取正数部分的最小值，并且会把这个最小γ^值对应的j^这个维度加入到选出来的特征维度集合A了。新的active set是A+=A∪{j^}。
证：
如果当前步骤下LARS的预测结果是μ^A，那么下步之后的预测（会加进一个维度j）就是
μ(γ)=μ^A+γuA
其中γ>0，那么这个时候X所有维度xj的相关系数就是
cj(γ)=xTj(y?μ(γ))=xTj(y?(μ^A+γuA))=c^j?γaj
如果j∈A（在当前已选的集合里），那么，
|cj(γ)|=C^?γ(XTAXAwA)j=C^?γAA
从前面的AA=(1TAG?1A1A)?1/2可以知道AA>0，也就是说所有之前挑选出来的维度的相关系数（最大的相关系数）都等值地进行衰减（因为往uA走了一步，所以减去一个小的正值γAA）。
这个时候，对于那些j∈Ac的维度，如果要把一个j也加到A里面，就要cj(γ)=c^j?γaj=C^?γAA，此时可以算出一个γ；当然也可能相关系数是负的，所以c^j?γaj=?(C^?γAA)，此时也可以算出一个γ；所以实际上我们是取上面两个γ中的较小值，同时，对所有j∈Ac都要做check取出一个最小的γ^，
γ^=min+j∈Ac???C^?c^jAA?aj,C^+c^jAA+aj???.
这个最小γ^值对应的j^这个维度就可以被加入到选出来的特征维度集合A了。新的active set是A+=A∪{j^}。最大（绝对值）相关系数是C^?γ^AA。
得证。
图3
图3是LARS的特征变化图，和图1类比，发现三种方法的结果看起来几乎都差不多，事实上他们也确实产生类似的稀疏系数。（关于LARS如何改造成LASSO可以参考[1]和[3]的先关章节，稍作修改即可，本文等后面有时间再补。）图3右图画的是相关系数的绝对值数值大小随着迭代选择的步数k的变化，
|c^kj|=|x′j(y?μ^k?1)|
可以看到不同的维度一旦被选择后就会一起衰减了，前面已经讨论过。
在LARS过程中，我们每一步都可以直接得到预测值μ^A，不过如果我们希望得到μ^A=Xβ^A中稀疏的β^A（只有选出来的维度非零）。应该这么做呢？假设我们当前的β^A是已知了的，根据前面的讨论，下一步是
μ^A+=μ^A+γ^uA=Xβ^A+γ^XAwA=X(β^A+γ^δA)
其中δA是吧wA从|A|长扩展成m维度长——把j∈A位置的元素用wA中相应元素，其余位置补零。这样就得到了下一步的稀疏系数应该是β^A+γ^δA。
这一篇就写到这里，描述了两种和lasso相关性强的特征选择方法，都可以产生稀疏的结果。尤其是LARS，每次选择都可以最优策略地加进一个维度，使得最多m步就可以结束算法。本系列到目前为止的（一）（二）（三）都和线性回归相关，线性回归三部曲到这里就暂告段落；接下来准备写一下决策树、逻辑回归等基础。加油加油！
参考资料
[1] Bradley Efron，Least Angle Regression
[2] dengcai， Unsupervised Feature Selection for Multi-cluster Data，KDD2010
[3] The Elements of Statistical Learning