1925: [Sdoi2010]地精部落
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[Submit][Status][Discuss]Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 N, P。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109Source
题解
求满足一定条件的方案数量, 考虑DPヽ(￣▽￣)?
思路比较清奇...本来是想定义 $dp[k][i][j]$ 为长度为 $i$ , 以 $j$ 结尾, 最后一个比倒数第二个数大($k=0$)/小($k=1$)的摆动排列的数量...然后绝望的发现很难转移QAQ
后来改成定义 $dp[k][i][j]$ 为 长度为 $i$ , 以 $j$ 开头, 第一个数比第二个数大($k=0$)/小($k=1)的摆动排列数量, 这样定义的话就可以得到下面这样的转移方程:
\[dp[k][i][j]=\begin{cases}
\sum_{x=1}^{j-1}dp[1][i-1][x] & \text{ if } k=0 \\
\sum_{x=j}^{i-1}dp[0][i-1][x] & \text{ if } k=1
\end{cases}\]
一共 $O(n^2)$ 次转移, 单次转移时间复杂度 $O(n)$, 总时间复杂度 $O(n^3)$
然而数据范围大于 $1000$ 肯定跑不过, 这时我们注意到转移为前缀和形式, 然后我们可以用前缀和将单次转移加速为 $O(1)$ , 从而将总时间复杂度降到 $O(n^2)$.
不过 $64MB$ 的内存限制开不下记忆化数组...得用滚动数组...这可真蠢(
还有这数据范围就更蠢了... $4200$ ...居然不是个比较整的数(dg你的课件可坑死我了啊(Ｔ▽Ｔ)...成功数组越界 WA 到死)
参考代码
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <iostream>
5 #include <algorithm>
6
7 const int MAXN=5010;
8
9 int n;
10 int p;
11 int dp[2][2][MAXN];
12
13 int main(){
14 scanf("%d%d",&n,&p);
15 dp[0][1][1]=1;
16 dp[1][1][1]=1;
17 for(int i=2,k=0;i<=n;i++,k^=1){
18 for(int j=1;j<=i;j++){
19 dp[1][k][j]=(dp[1][k][j-1]+dp[0][k^1][j])%p;
20 }
21 for(int j=i;j>0;j--){
22 dp[0][k][j]=(dp[0][k][j+1]+dp[1][k^1][j-1])%p;
23 }
24 }
25 printf("%d\n",(dp[0][n&1][1]+dp[1][n&1][n])%p);
26 return 0;
27 }
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