算法导论第四章分治策略编程实践（二）

　　在上一篇中，通过一个求连续子数组的最大和的例子讲解，想必我们已经大概了然了分治策略和递归式的含义，可能会比较模糊，知道但不能用语言清晰地描述出来。但没关系，我相信通过这篇博文，我们会比较清楚且容易地用自己的话来描述。

　　通过前面两章的学习，我们已经接触了两个例子：归并排序和子数组最大和。这两个例子都用到了分治策略，通过分析，我们可以得出分治策略的思想：顾名思义，分治是将一个原始问题分解成多个子问题，而子问题的形式和原问题一样，只是规模更小而已，通过子问题的求解，原问题也就自然出来了。总结一下，大致可以分为这样的三步：

分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。

解决：对于子问题的解决，很明显，采用的是递归求解的方式，如果子问题足够小了，就停止递归，直接求解。

合并：将子问题的解合并成原问题的解。

　　这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。所以，如果你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。所以就引入本章的重点：如何解递归式？

解递归式的三种方法

这里有三种方法：代入法、递归树法和主方法。（下面这一部分结合有些网友的总结和我的总结得来）

代入法：

定义：先猜测某个界的存在，再用数学归纳法去证明该猜测的正确性。
缺点：只能用于解的形式很容易猜的情形。
总结：这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。

递归树法：

起因：代换法有时很难得到一个正确的好的猜测值。
用途：画出一个递归树是一种得到好猜测的直接方法。
分析(重点)：在递归树中，每一个结点都代表递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合，再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。
总结：递归树最适合用来产生好的猜测，然后用代换法加以验证。
递归树的方法非常直观，总的代价就是把所有层次的代价相加起来得到。但是分析这个总代价的规模却不是件很容易的事情，有时需要用到很多数学的知识。

主方法：

主方法是最好用的方法，书本上以”菜谱“来描述这种方法的好用之处，它可以瞬间估计一个递推式的算法复杂度。但是我们知道，这后面肯定是严格的数学证明在支撑着，对于我们用户来说，我们只用知道怎么用就行了。

优点：针对形如T(n) = af(n/b) + f(n)的递归式

缺点：并不能解所有上述形式的递归式，有一些特殊情况，见下文分析。

分析：三种情况，如下图，着重看圈线的部分:

直觉：看 f(n) 和 n^log_ba的关系，谁大取谁，相等则两个相乘，但要注意看是否相差因子 n^ε。对于3），还要看是否满足条件 af(n/b) <= cf(n) .

就像上面所说的，该方法不能用于所有的形如上式的递归式，f(n)和n^log_ba的关系必须是多项式意义上的小于大于，即渐近关系（渐近小于、渐近大于），什么是渐近，就是两者相差一个因子n^ε。所以，在情况1和情况2之间有一定的间隙，同样情况2和请看3之间也有一定的间隙；对于情况3，还要看是否满足正则条件。

　　通过上面的讲述，我相信自己应该讲清楚了这三种方法，你也许还是有些困惑，但没关系，你只是缺乏例子的引导，下面我们就来看几个例子，其充分应用到了这三种方法。

代入法：（凭直觉、经验）

1）、习题4.3-1：T(n) = T(n-1) + n