信号期中纠错

• 线性时不变离散系统稳定,其单位样值响应\(h(n)\)必须满足
  \[
  \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty
  \]
• 线性时不变离散系统因果,其单位样值响应\(h(n)\)必须满足
  \[
  h(n)=h(n)u(n)
  \]

  \[
  \begin{align}f(t)*\delta(t-t_0)&=f(t_0)\notag\\f(t)\cdot\delta(t-t_0)&=f(t_0)\delta(t-t_0)\notag\end{align}
  \]

• \(f(t)\)的带宽为\(W\),则\(f(t)\sin(\omega_0t+\frac{\pi}{4})\)的带宽为
  \[
  2W
  \]
• 序列\(\delta(\frac{n}{2})\)可用\(\delta(n)\)表示为
  \[
  \delta(n)
  \]
• 某线性时不变离散系统的单位样值响应为\(h(n)\),当激励为\(u(n)-u(n-2)\)时,系统的输出为
  \[
  h(n)+h(n-1)
  \]
• 求下列序列的最小正周期
  1. \(\cos(\frac{\pi}{3}n)+\cos(\frac{5\pi}{3}n)\)

     \[
     \begin{align}
     T_1&=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=6\notag\T_2&=\frac{2\pi}{\frac{5\pi}{3}}=\frac{6}{5}\notag
     \end{align}
     \]
     所以周期是两者最小公倍数,为6.

  2. \(\cos(\frac{\pi}{3}n)\cos(\frac{5\pi}{3}n)\)

     需要使用积化和差
     \[
     \cos(\frac{\pi}{3}n)\cos(\frac{5\pi}{3}n)=\frac{1}{2}[\cos(2\pi)+\cos(-\frac{4\pi}{3})]
     \]
     还需要对两者分别求周期
     \[
     \begin{align}
     T_1&=\frac{2\pi}{2\pi}=1\notag\T_2&=\frac{2\pi}{-\frac{4\pi}{3}}=-\frac{3}{2}\notag
     \end{align}
     \]
     最小公倍数为\(3\),所以周期为\(3\).

• 已知\(f(t)=e^{-2t}[u(t)-u(t-4)]\),求其傅氏变换
  \[
  f(t)=e^{-2t}u(t)-e^{-8}\cdot e^{2(t-4)}u(t-4)\leftrightarrow \frac{1}{2+j\omega}-e^{-8}\frac{1}{2+j\omega}e^{-j\omega4}
  \]
  将信号拆分,凑成了可以使用时移特性的形式.
• 求\(u(2t-4)\)得傅氏变换

  根据尺度变换性质可知
  \[
  f(at+b)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}e^{j\omega(\frac{b}{a})}F(\frac{\omega}{a})
  \]
  将函数代入,可得
  \[
  u(2t-4)\leftrightarrow \frac{1}{2}e^{-j\omega(\frac{-4}{2})}F(\frac{\omega}{2})
  \]
  又因为
  \[
  F(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}
  \]
  所以
  \[
  \frac{1}{2}e^{-j\omega(\frac{-4}{2})}F(\frac{\omega}{2})=\frac{1}{2}e^{-j\omega(\frac{-4}{2})}[\pi\delta(\frac{\omega}{2})+\frac{1}{j\frac{\omega}{2}}]\tag{*}
  \]
  根据冲激函数的性质
  \[
  \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)
  \]
  则\((*)\)式可以写为
  \[
  \frac{1}{2}e^{-j\omega(\frac{-4}{2})}2\pi\delta(\omega)+\frac{1}{2}e^{-j\omega(\frac{-4}{2})}\frac{1}{j\frac{\omega}{2}}=\pi\delta(\omega)+\frac{e^{-j\omega 2}}{j\omega}
  \]

• 求信号\((1-t)\frac{d}{dt}[e^{-2t}\delta(t)]\)的傅氏变换
  \[
  \begin{align}
  (1-t)\frac{d}{dt}[e^{-2t}\delta(t)]&=(1-t)\delta^{'}(t)\notag\&=\delta^{'}(t)-t\delta^{'}(t)\notag
  \end{align}
  \]
  由于
  \[
  \delta^{'}(t)\leftrightarrow j\omega
  \]
  以及频域微分特性
  \[
  tf(t)\leftrightarrow j\frac{d}{d\omega}F(\omega)
  \]
  可得
  \[
  \begin{align}\delta^{'}(t)-t\delta^{'}(t)&=j\omega-[j(\frac{d}{d\omega}j\omega)]\notag\\&=j\omega+1\notag\end{align}
  \]
• 求信号\(e^{-(2+j5)t}u(t)\)的傅氏变换

\[
\begin{align}e^{-(2+j5)t}u(t)&=e^{-2t}u(t)e^{-j5t}\notag\\&=\frac{1}{2+j(\omega+5)}\notag\end{align}
\]

? 此处用了单边指数的傅氏变换公式.

原文地址：https://www.cnblogs.com/Clouds42/p/11809602.html