Multi-Nim
从最简单的Nim模型开始
它的定义是这样的
有\(n\)堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于\(2\)石子分为两堆不为空的石子，没法拿的人失败。问谁会胜利
博弈分析
这个问题的本质还是Nim游戏，可以利用SG定理来解释
通过观察不难不发现，操作一与普通的Nim游戏等价
操作二实际上是将一个游戏分解为两个游戏，根据SG定理，我们可以通过异或运算把两个游戏连接到一起，作为一个后继状态
煮个栗子
SG(3)的后继状态有\(\{ (0),(1),(2),(1,2) \}\)他们的SG值分别为\(\{ 0,1,2,3 \}\)，因此\(SG(3)=mex\{ 0,1,2,3 \}=4\)
另外这种游戏还有一个非常神奇的性质
\[SG\left( x\right) =\begin{cases}x-1\left( x\mod4=0\right) \\ x\left( x\mod4=1 \lor 2\right) \\ x+1\left( x\mod4=3\right) \end{cases}\]
然后把这个结论背过就好啦233
Multi-SG
根据上面的游戏，我们定义Multi-SG游戏
- Multi-SG 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的
后继可以为多个单一游戏。 - Multi-SG其他规则与SG游戏相同。
注意在这里要分清楚后继与多个单一游戏
对于一个状态来说，不同的划分方法会产生多个不同的后继，而在一个后继中可能含有多个独立的游戏
一个后继状态的SG值即为后继状态中独立游戏的异或和
该状态的SG值即为后继状态的SG值中未出现过的最小值
例题
难度跨度好大啊QWQ。。
直接放题解吧
原文地址：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8469862.html
时间： 2024-11-07 19:51:04