原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8810140.html
题目传送门 - BZOJ3160
题意
给你一个只含$a,b$的字符串,让你选择一个子序列,使得:
$1.$位置和字符都关于某一条对称轴对称。
$2.$不能是连续的一段。
问原来的字符串中能找出多少个这样的子序列。答案对$10^9+7$取模。
串长$\leq 10^5$。
题解
下面的讨论都在满足条件$1$的情况下进行。
首先,我们先不考虑条件$2$。然后再减掉不满足条件$2$的就可以了。
显然不满足条件$2$的就是一个连续的回文串。我们只需要统计原串中的连续回文子串个数即可,这个可以用$Manachar$算法轻松搞定。
考虑只满足条件$1$的。
注意考虑第一个条件中位置也关于某一条对称轴对称。
显然,考虑一个位置$i$,如果$s_{i-j}\neq s_{i+j}((i+j)\in N,(i-j)\in N)$,那么显然不能出现这一对字符。否则,这对字符就可以出现也可以不出现。
如果位置$i$的两侧有$k$对可以出现也可以不出现的字符,那么对答案的贡献就是$2^k-1$。
减$1$的原因是不能不取任何字符对,如果那样的话是空串,不满足条件。
我们观察$s_{i-j}$和$s_{i+j}$的下标,发现$i-j+i+j=2i$考虑$j$为变量的话是个定值,那么恰好满足的多项式乘法卷积的形式。
考虑构造多项式。
下面引用框里面是我一开始自己想的算法,常数要大不少,可能过不去,但是也是对的。
设$f_i,g_i$分别表示的$i$位的字符值$(‘a‘=0,‘b‘=1)$和的$i$位是否有效$(下标超过原来的串长则g_i=0,否则g_i=1)$。
构造卷积
$$h_i=\sum_{j=0}^{i}g_ig_{i-j}(f_i-f_{i-j})^2$$
然后展开就可以$FFT$了。
得到的$h_i$是当以$\frac i2$为对称轴的时候$\frac i2$左右不能匹配的对数。
但是事实上有更好的做法。
考虑$‘a‘$和$‘b‘$,分开考虑,然后合法的数对个数加起来就是总的合法数对个数了。
这里只说$‘a‘$。
定义$g_i$,表示如果$s_i=‘a‘$则$g_i=1$,否则$g_i=0$。
卷积$f=g^2$,即$f_i=\sum_{j=0}^i g_jg_{i-j}$。$FFT$优化即可。
得到的$f_i$和之前的意义差不多,只是表示的是能匹配的对数了。
最后计算答案不用说了吧QAQ。
然而由于博主只写过$2$~$3$次$Manachar$,不够熟练,导致$Manachar$写错了,贡献了一次$TLE$,一次$WA$。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N=1<<18; const LL mod=1e9+7; double PI=acos(-1.0); int m,n,L,R[N],r[N],res[N]; char s[N],str[N]; LL pow2[N],ans=0; struct C{ double r,i; C(){} C(double a,double b){r=a,i=b;} C operator + (C x){return C(r+x.r,i+x.i);} C operator - (C x){return C(r-x.r,i-x.i);} C operator * (C x){return C(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);} }w[N],x[N],y[N],z[N]; void Manachar(char str[]){ for (int i=0;i<m;i++) str[i*2+1]=s[i]; for (int i=0;i<=m;i++) str[i*2]=‘*‘; int R=0,p=0; for (int i=1;i<m*2;i++){ r[i]=max(1,min(r[p*2-i],R-i)); while (i-r[i]>=0&&i+r[i]<=m*2&&str[i-r[i]]==str[i+r[i]]) r[i]++; if (i+r[i]>R) R=i+r[i],p=i; } } void FFT(C a[]){ for (int i=0;i<n;i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]); for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1) for (int i=0;i<n;i+=(d<<1)) for (int j=0;j<d;j++){ C tmp=w[t*j]*a[i+j+d]; a[i+j+d]=a[i+j]-tmp; a[i+j]=a[i+j]+tmp; } } int main(){ scanf("%s",s); m=strlen(s); Manachar(str); for (n=1,L=0;n<m*2;n<<=1,L++); for (int i=0;i<n;i++){ R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); w[i]=C(cos(2*i*PI/n),sin(2*i*PI/n)); pow2[i]=i==0?1:(pow2[i-1]*2%mod); x[i]=C(0,0),y[i]=C(0,0); } for (int i=0;i<m;i++) x[i]=C(s[i]==‘a‘,0),y[i]=C(s[i]==‘b‘,0); FFT(x),FFT(y); for (int i=0;i<n;i++) x[i]=x[i]*x[i],y[i]=y[i]*y[i],w[i].i*=-1.0; FFT(x),FFT(y); for (int i=0;i<n;i++) res[i]=(int)((x[i].r+y[i].r)/n+0.5); for (int i=0;i<=m*2-2;i++) ans=(ans+mod+pow2[(res[i]+1)/2]-r[i+1]/2-1)%mod; printf("%lld",ans); return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8810140.html