【初等数论四大定理】欧拉定理，费马小定理

转载请注明出处 [ametake版权所有]http://blog.csdn.net/ametake欢迎来看看 今天花了一个多小时终于把乘法逆元捣鼓明白了 鉴于我拙计的智商抓紧把这些记录下来 在此本栏目鸣谢里奥姑娘和热心网友himdd的帮助和支持 那么正文开始··· 逆元是干什么的呢? 因为(a/b)mod p ≠(a mod p)/(b mod p) 我们需要想一种方法避免高精 那就是把除法转化为乘法 因为(a*b) mod p = ( a mod p ) *( b mod p ) 怎么转化呢?

目录 同余 基本定理 欧拉定理 费马小定理 扩展欧拉定理 扩展欧几里得算法 同余 基本定理 欧拉定理 若a,m互质,则 \[ a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right ) \] 应用 令,,这两个数是互素的.比5小的正整数中与5互素的数有1.2.3和4,所以.计算:,而.与定理结果相符. 计算的个位数,实际是求被10除的余数.7和10互素,且.由欧拉定理知.所以. 费马小定理 若p是质数,则对于任意整数a,都有 \[

主要部分转自百度百科:https://baike.baidu.com/item/欧拉定理 内容: 在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质.欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则: 证明: 将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数) 我们考虑这么一些数: m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n) (1) 这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定m

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识 引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b

Ignatius's puzzle Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 9783    Accepted Submission(s): 6839 Problem Description Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no

费马小定理 关于费马小定理,读到注解的时候,还是有点震撼的. 皮埃尔•得•费马(1601-1665)是现代数论的奠基人,他得出了许多有关数论的重要理论结果,但他通常只是通告这些结果,而没有提供证明.费马小定理是在1640年他所写的一封信里提到的,公开发表的第一个证明由欧拉在1736年给出(更早一些,同样的证明也出现在莱布尼茨的未发表的手稿中)费马的最著名结果——称为费马的最后定理——是l637年草草写在他所读的书籍<算术>里(3世纪希腊数学家丢番图所著),还带有一句注释“我已经发现了一个极其美

  费马小定理证明 费马小定理定义:假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么a^(p-1)≡1(mod p),就是说,如果p是质数,并且a与p互质,那么a的p-1次方膜上p恒等于1.下面给出证明: 例如:13是一个质数,那么1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12乘上一个与13互质的数,比如乘上3,得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,   然后膜上13得到3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10,给这些数排序就会发现,他们就是1,2,3

费马小定理:当p是一个质数时,且a和p互质,有ap-1=1(mod p) (欧拉定理的一种特殊情况) 欧拉定理:如果a和n互质,那么aφ(n)=1(mod n) 对于任意a,b,n就有 ab=aφ(n)+b mod φ(n)(mod n) 处理b数值较大的情况 ,采用分治思想,复杂度为O(logn) int mod = n; int fastpow(int a,int b) { long long ret = 1; tmp = a; while(b) { if(b&1) ret = ret*tm

对于正整数n,欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目,表示为φ(n). 性质1:对于素数p,φ(p)=p-1. 性质2:对于两个互质数p,q,φ(pq)=φ(p)*φ(q)=(p-1)(q-1).(积性函数)(待证) 性质3:若n是质数p的k次幂,φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质. 性质4: 因为:x可以分解成p1q1×p2q2×p3q3--×pnqn (pi为x的质因数) 因为piqi两两互质,所以:φ(x)=φ(p1q1)×φ(p2