MT【223】二次函数最大最小

若函数$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$对任意实数$t$,在闭区间$[t-1,t+1]$上总存在两实数$x_1,x_2$,使得$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$成立,则实数$a$的最小值为____

解答:记$h(t)=\max\limits_{x_1,x_2}\{|f(x_1)-f(x_2)|\}$,由题意$h(t)_{min}\ge8$
$\because 2a=f(t+1)+f(t-1)-2f(t)\le 2f(x)_{max}-2f(x)_{min}=2h(t),\therefore h(t)_{min}= a\ge8$

注:本题在很多模拟题中出现，但目前市面上的参考答案里笔者没有发现一种方法比我这里展现的在不失严格性的前提下更简洁.

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