《游戏引擎架构》笔记十二

碰撞及刚体动力学

一些碰撞/物理系统：http://www.gamedev.net/community/forums/topic.asp?topic_id=463024

• I-Collide：http://cs.unc.edu/I-COLLIDE
• SWIFT：
• ODE：http://www.ode.org
• Bullet：http://code.google.com/p/bullet/
• TrueAxis：http://trueaxis.com/
• PhysX：
• Havok：
• PAL：http://www.adrianboeing.com/pal/index.ht ml
• DMM：

碰撞检测系统
物理世界
形状：

• 相交、
• 接触（分离矢量，沿该矢量运动就能高效脱离碰撞妆容）、
• 凸（由形状内发射的光线不会穿越形状两次以上）

原型：

• 球体、
• 胶囊体、
• 轴对其包围盒AABB、
• 定向包围盒OBB、
• 离散定向多胞形discrete oriented polytope DOP、
• 任意凸体积、
• 多边形汤（碰撞引擎必须和每个三角形测试）、
• 复合形状

碰撞测试：

• 点和球体相交
• 球体和球体相交
• 分离轴定理：凸形状于该轴（分离轴）上的投影不重叠，能确定两个形状不相交。分离两个物体的轴/面称为分离线/面。三维空间中，分离轴仍然是个轴，分离线变成分离面。可以把形状逐一投影到各个潜在分离轴，并检查投影区间是否相交
• AABB相交：分离轴定理。三个轴x,y,z。只有在三个轴都重叠，才是相交的。
• 检测凸碰撞：GJK算法。依赖闵可夫斯基差：把A中的所有点与B中的所有点都成对相减，得到的集合就是闵可夫斯基差。当且仅当两个形状相交，闵可夫斯基差包含原点。GJK尝试在闵科夫斯基的凸包内，尝试找出一个包含原点的四面体。若找到，则相交。
• 运动物体间的碰撞：
  • 离散的静态碰撞；
  • sweep shape扫琼形状做静态测试（结果不准确）；
  • 连续碰撞检测continuous collision detection CCD，求出最早的冲击时间TOI

性能优化：

• 利用时间一致性避免每帧重新计算一些类型的信息
• 空间划分：八叉树、二元空间分割树、kd树等
• 粗略阶段，中间阶段，精确阶段：先AABB测试哪些物体会碰撞；再用符合形状的逼近包围体检测；最终测试碰撞体中个别碰撞原形是否相交。
• 扫琼裁剪：sweep and prune，对各个膨胀提的AABB的最小，最大坐标再三个主轴上排序，然后通过遍历改有序表检测AABB之间是否重叠

碰撞查询：

• 光线投射：投射的物体并不存在于碰撞世界，不会影响其他物体。返回一个t值，P = P₀（起点） + td（矢量增量）

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接触点的t值
    U32    m_collidableId;//击中哪个可碰撞体？
    Vector m_normal;//接触点的法向量
    //其他信息
};

• 形状投射：传回的接触信息比光线投射更复杂，且必须返回多个接触点。

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接触点的t值
    U32    m_collidableId;//击中哪个可碰撞体？
    Point   m_contactPoint;//实际接触点的位置
    Vector m_normal;//接触点的法向量
    //其他信息
};

• Phantom：查询碰撞体是否在其他指定体积里。对于其他碰撞体是透明的，也不参与动力学模拟。phantom会持续在碰撞世界里存在。

碰撞过滤：决定碰撞体之间的接触是否成立

• 碰撞掩码及碰撞层：对世界中物体分类，然后用一个查找表判断某类碰撞物体能否与另一些分类碰撞。
• 碰撞回调：当碰撞库检测到碰撞时调用回调函数。回调函数可以检查碰撞的具体信息，然后按自己的条件决定接受或拒绝碰撞。
• 碰撞材质：每个碰撞表面关联一组属性，它定义了某种表面在物理上和碰撞上的行为。包含碰撞属性，如音效，粒子效果，摩擦系数等等。

刚体动力学

无约束刚体指可以在3个笛卡尔轴上自由移动，并绕3个轴自由旋转，因此它含6个自由度（degree of freedom ，DOF）。

无约束刚体的运动分为两个部分：

• 线性动力学：刚体除旋转以外的运动
• 旋转动力学：刚体的旋转性运动

对于均匀密度的刚体，其质心位于刚体的几何中心；若刚体的密度不均匀，那么就要令每个小块以其质量为权值，求加权平均值作为整个刚体的质心

  其中，r表示半径或位置矢量，即从世界空间原点到该点的矢量。

线性动力学（质点）

• 线性速度&加速度
• 力&动量

运动方程求解

• 力作为函数：位置、速度、时间等的函数（常微分方程（ordinary differential equation ODE））。F(t,r(t),v(t),...) = ma(t)
• 解析解：找到闭合式函数，描述所有可能的时间值t的刚体位置（例如抛物线），但是游戏中几乎不可能。
• 数值积分：游戏引擎使用数值积分求解运动方程
  • 显示欧拉：一阶近似，用切线逼近。
  • 距离近似方程：r(t₂) = r(t₁) + v(t₁)Δt
  • 速度近似方程：v(t₂) = v(t₁) + a(t₁)Δt
• 常微分方程的数值解的特性：
  • 收敛性：Δt趋近于0的时候，近似解趋近真实解？
  • 阶数：误差是O(t^?)
  • 稳定性：数值解是否会稳定下来？

其他的数值积分方法

• 向后欧拉法
• 中点欧拉法
• Runge-Kutta方法族
• 韦尔莱积分

韦尔莱积分是三阶方法，它需要已知待求时间点的前两个Δt的位置信息或速度信息。实际上是通过泰勒展开消去重复项。

待求时间点是t1 + Δt，已知t1和t1 - Δt的位置信息。则：

  相减得到：

速度韦尔莱积分

• 计算r(t + Δt) = r(t₁) + v(t₁)Δt + 0.5a(t₁)*Δt²
• 计算v(t₁ + 0.5Δt) = v(t₁) + 0.5a(t₁)Δt
• 求a(t₁ + Δt)  (假设a仅仅依赖位置，如果依赖速度，则需要先计算速度近似值)a(t₁ + Δt)  = a(t₂) = m^-1F(t₂,r(t₂),v(t₂))
• 计算v(t + Δt) = v(t₁ + 0.5Δt) + 0.5a(t₁ + Δt)Δt

旋转动力学（刚体）

• 二维：
  • 定向：角度θ(t)（绕z轴旋转）
  • 角速率&加速度：

• • 转动惯量moment of inertia：改变角速率的难易程度。用I表示
  • 力矩torque：用N表示：N = r x F

二维中力矩必然和z轴平行

二维旋转方程求解

• 显示欧拉逼近解：

速度韦尔莱积分

三维旋转动力学：

• 惯性张量：inertia tensor，标记为I。刚体的旋转质量由3x3矩阵表示。如果3个主轴对称，则主对角线以外的元素（也叫惯量积）就是0。物理引擎中惯性张量简化为三元素矢量[I_xx, I_yy, I_zz]

刚体的定向可以用四元数q表示：

三维中的角速度：

三维旋转动力学中，一个刚体在无外力的情况下旋转，其角速度ω(t)可能不是常量，因为旋转轴方向可能会不断改变。因此角速度不守恒，但是角动量（angular momentum，表示为L）守恒。

由于ω不守恒，所以不会像线性速度一般，视角速度为一个基本的量。角速度是第二级别的量，在确定了角动量L后才计算出ω

三维力矩：N = r x F = Iα = I dω(t)/dt = d(Iω(t))/dt = dL/dt

三维旋转求解：

需要直接对L求解

将角速度转化成四元数：ω = [ω_x, ω_y, ω_z, 0]

且：dq(t)/dt = ?ω(t))q(t)

显示欧拉：

需要定期把定向q(t)重新归一化，以消除浮点小数累计无法避免的误差。

碰撞响应

冲量碰撞响应

完全弹性碰撞无任何能量损失；完全非弹性碰撞，两个刚体一起损失动能。

• 根据动量守恒+动能守恒，得到公式：

• 无摩擦力下瞬时碰撞的牛顿恢复定律：假设接触点没有摩擦力，冲量必然垂直于表面法线

恢复系数：v₂‘-v₁‘=ε(v₂ - v₁)

将两者求解得

若恢复系数ε为1，刚体2的有效质量无穷大，则1/m₂ = 0、v₂ = 0；则：

其他碰撞响应方法

• 惩罚性力：力会在短但有限的时间内产生所需的碰撞响应。就类似一个坚硬的阻尼弹簧。它容易实现及理解，适合低速撞击，但不适合高速移动的物体。
• 约束

摩擦力

• 静摩擦力
• 滑动摩擦力
• 滚动摩擦力
• 碰撞摩擦力

5. 休眠

将休眠物体移除模拟之外，但是仍然参与碰撞检测

条件：

• 刚体受到支持
• 刚体的线性和角动量低于阈值
• 线性和角动量的移动平均低于阈值
• 总动能（0.5p·v+0.5L·ω）低于阈值
• 逐渐减慢其运动，使其平滑的停止

Havok中有模拟岛：潜在近期会互动的物体组成。模拟岛能独立于其他岛模拟，并以整个岛为单位进入休眠。

6.约束

• 点对点约束：刚体中某个点和其他刚体的指定点对齐
• 弹簧约束：与点对点约束不同的是，它的两个点会分开一段距离
• 铰链约束：只能绕铰链旋转。
• 活塞约束：滑移铰，类似活塞一样的移动。
• 平面约束

轮子：无限旋转的铰链+阻尼弹簧加入某种形式的垂直悬挂系统

约束链：特殊群组，内含供求解程序使用的物体连接信息。模拟一长串的刚体信息。

布娃娃：刚体用约束互相链接，通常使用约束链提高模拟的稳定性。是由物理系统驱动的程序式动画。

富动力约束（powered constraint）：外部引擎间接控制布娃娃的平移和定向。力+动

画，力改变动画

控制刚体的运动

• 引力
• 施加力：多数引擎设计为每帧调用一次，力的影响也在该帧内
• 施加力矩：改变速度&角速度；力偶：一样大，方向相反，离质心距离相同的对点上施加。
• 施加冲量：速度瞬间改变，无穷短时间内的施力

8.游戏对象和刚体：

物理驱动的刚体

游戏驱动的刚体（动画、玩家驱动）：可当作含有无穷质量，力和力矩无法改变游戏驱动刚的速度

固定刚体：不参加动力学模拟，只有碰撞的刚体。

9.更新模拟

• 更新游戏驱动刚体
• 更新phantom
• 施以力，冲量并调整约束
• 步进模拟：
  • 对运动方程数值积分，求出次帧物理状态
  • 碰撞检测
  • 碰撞决议
  • 实行约束
• 更新物理驱动的游戏对象
• 执行phantom碰撞投射查询（以回调方式异步查询or使用上一帧的结果同步查询）

• 渲染