网格测地线算法（Geodesics in Heat）

[Crane et al. 2013]提出了利用热运动方程来计算网格测地线的方法，具体算法过程如下图所示：

第一步：热运动方程用来描述热的传播状态：

　　将热运动方程离散化并整理后得到：

其中：id为单位矩阵，t为时间间隔，Δ为离散Laplacian算子，u_t为t时刻的热状态，u₀为初始时刻的热状态。

第二步：第一步计算得到的热梯度方向与测地距离的梯度方向相同，由Eikonal方程知道测地距离的梯度为单位向量，于是通过归一化热梯度我们得到测地距离的梯度：

　　第三步：得到测地距离的梯度之后，测地线问题即变为求解以下式子：

　　根据变分法，上式最小化即求解泊松方程：

其中：Φ即为网格上顶点距离源点的测地距离。

效果：

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参考文献：

[1] Keenan Crane, Clarisse Weischedel, and Max Wardetzky. 2013. Geodesics in heat: A new approach to computing distance based on heat flow. ACM Trans. Graph. 32, 5, Article 152 (October 2013), 11 pages.