钢条切割问题求解方法及相关思考

题目来源于《算法导论》第15章第一节。问题如下：

给定一个长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i(i=1,2,3,...n),求能够使销售收益r_n最大的切割方案。

问题1：一共有多少种切割方式？

思路一：对于一个长度为n英寸的钢条，其中一共有n-1个节点可供切割，在每一个节点处都可以选择切割或者不切割，将对一根钢条的切割过程视为从第一个节点直到第n-1个节点逐一选择切割或者不切割的一个过程，利用乘法原理，可以算出来总共有2^n-1种切割方案。以四个节点的钢条为例：

思路二：也可以将切割一个长度为n英寸的钢条视作是从n-1个节点当中选择i（i=0,1,2,....,n-1）个节点进行分割的过程。那么总的分割方式m的计算方式可以使用排列组合的相关知识进行运算。m=C⁰_n-1+C¹_n-1+.....+C^n-1_n-1，根据牛顿二项式公式m=2^n-1。

问题解决方案

一、自顶向下递归

从钢条左边切割下长度为i的一段（不作任何处理），再对剩下的长度为n-i的钢条进行切割（递归），一个最优的解决方案就是:r_n=max(p_i+r_n-i)(1<=i<=n)，C++代码实现如下：

 1 #include "stdafx.h"
 2 int CutRod(int p[], int n)//输入分别为价格数组和问题规模（钢条大小）
 3 {
 4     if (n == 0)
 5     {
 6         return 0;
 7     }
 8     int q = -1000;//保证程序的顺利启动
 9     for (int i = 1; i <= n; i++)
10     {
11         if (q < p[i - 1] + CutRod(p, n - i))
12         {
13             q=p[i - 1] + CutRod(p, n - i);
14         }
15     }
16     return q;
17 }
18 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
19 {
20     int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
21     printf("%d", CutRod(a, 10));
22     getchar();
23     return 0;
24 }

问题2：这样的一种递归遍历能否遍历所有的2^n-1种切割方法？

我之前一直以为这种计算方法无法遍历到所有的切割方式，以为这种每一次都不考虑左半边分割的方式会忽略掉某些解。但是细想的话会发现，原来对于左半边的分割在之前的遍历当中已经考虑到了，并不需要再考虑。比如，如果从距离钢条左边2英寸处分割成两半然后只考虑右边的n-2英寸的钢条的分割的话，不需要考虑将左边2英寸的钢条再分为两个1英寸的情况，因为在计算将左边分为一个1英寸这种情况的时，另外的n-1部分其中有一种情况就是将其分为一个1寸和n-2寸的情况，这样就考虑了之前所说的那种情况。也可以对比问题一当中的例子来思考这一问题。

二、利用动态规划的思想解决这一问题

上面所提到的那种算法会在遍历的过程当中多次计算同样的子问题，所以需要应用一些策略来减少算法计算数量，下面分别提供了两种更好的方案。

带备忘的自顶向下的解决方案：记录在遍历的过程当中所遇到的子问题的解，算法在后面的运行当中会对照所记录的解，如果当前子问题存在解就直接输出解，否则就执行运算；

自底向上的解决方案：先解决子问题，再利用子问题的解来解决父问题；

1、带备忘的自顶向下的解决方案C++实现

 1 //对规模为n的问题进行计算
 2 int MCutRodA(int a[], int n, int r[])
 3 {
 4     int q;//问题的解
 5     if (r[n] >= 0)//如果子问题已经有解就返回所记录的子问题的解
 6     {
 7         return r[n];
 8     }
 9     if (n == 0)
10     {
11         q = 0;
12     }
13     else{
14         q = -100;
15         for (int i = 1; i <= n; i++)
16         {
17             if (q < MCutRodA(a, n - i, r) + a[i-1])
18             {
19                 q = MCutRodA(a, n - i, r) + a[i-1];
20             }
21         }
22     }
23     r[n] = q;//记录解
24     return q;
25 }
26 //带备忘的递归解决方案
27 int MCutRod(int a[],int n)
28 {
29     int* r = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));//设置一个数组记录不同规模的子问题的解
30     for (int i = 0; i <= n; i++)
31     {
32         r[i] = -1;
33     }
34     return MCutRodA(a, n, r);
35 }
36
37 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
38 {
39     int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
40     printf("%d", MCutRod(a, 10));
41     getchar();
42     return 0;
43 }

2、自底向上解决方案的C++实现

 1 int BTUCutRod(int a[], int n)
 2 {
 3     int* r = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));
 4     r[0] = 0;
 5     for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历所有可能的问题规模数
 6     {
 7         int q = -100;
 8         for (int j = 1; j <= i; j++)
 9         {
10             if ((a[j - 1] + r[i - j]) > q)
11             {
12                 q = a[j - 1] + r[i - j];
13             }
14         }
15         r[i] = q;
16     }
17     return r[n];
18 }
19 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
20 {
21     int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
22     printf("%d", BTUCutRod(a, 10));
23     getchar();
24     return 0;
25 }