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题目大意:有$N$个任务需要执行,第$i$个任务计算时占$R[i]$个空间,而后会释放一部分,最后储存计算结果需要占据$O[i]$个空间$(O[i] < R[i])$。
例如:执行需要$5$个空间,最后储存需要$2$个空间。给出$N$个任务执行和存储所需的空间,问执行所有任务最少需要多少空间。
解题关键:按照$b[i]$不增的顺序排序,是最“有利”的。
一定注意:输入的不是a,b,而是O与R,比较的是b,两者的差的绝对值
结论:
如果对于$b[0] > = b[1] > = \ldots > = b[x] < b[x + 1]$
$\left( {a[0],b[0]} \right) \ldots .\left( {a[x],{\rm{ }}b[x]} \right){\rm{ }}\left( {a[x + 1],{\rm{ }}b[x + 1]} \right)$的组合可以不产生负数,则我们交换$b[x]$和$b[x+1]$也可以不产生负数。
证明:
交换$(a[x],b[x])$和$(a[x + 1],b[x + 1])$对$x+1$更有利了,因为每个括号实际上是一个负数,所以越早安排这个括号,被减数就越大,就越不容易形成负数。
关键看$(a[x],b[x])$移动到后面会不会产生负数。
那其实是看之前的结果$ - a[x + 1] + b[x + 1] - a[x]$会不会产生负数,(注意$ - a[x + 1] + b[x + 1]$不会产生负数,因为我们刚才已经证明了,对$x + 1$更有利)
而我们知道之前的结果$-a[x] + b[x] – a[x + 1]$不会产生负数(因为我们的假设就是这样),而$b[x + 1] > b[x]$,所以前者更大,所以$-a[x + 1] + b[x + 1] – a[x]$不会产生负数。
因此我们证明了交换之后仍然不产生负数,也就是原先不产生负数,我们交换后仍然不产生负数。
而经过若干次这样的交换之后,我们肯定会把序列交换成按照b的不增顺序排序的。从而我们证明了,任何可行的方案都不好于按照b不增顺序排序的序列执行的方案,从而证明了我们的贪心策略是有效的。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 struct node{ 5 int a,b; 6 }c[100002]; 7 bool cmp(node x,node y){ 8 return x.a-x.b>y.a-y.b; 9 } 10 int main(){ 11 int n; 12 cin>>n; 13 for(int i=0;i<n;i++) cin>>c[i].a>>c[i].b; 14 sort(c,c+n,cmp); 15 int sum=c[0].a,tt=0; 16 for(int i=0;i<n;i++){ 17 if(tt+c[i].a>sum) sum=tt+c[i].a; 18 tt+=c[i].b; 19 } 20 printf("%d",sum); 21 return 0; 22 }