试题描述
Cirno闲着无事的时候喜欢冰冻青蛙。
Cirno每次从雾之湖中固定的n个结点中选出一些点构成一个简单多边形，Cirno运用自己的能力能将此多边形内所有青蛙冰冻。
雾之湖生活着m只青蛙,青蛙有大有小，所以每只青蛙的价值为一个不大于10000的正整数。
Cirno很想知道每次冻住的青蛙的价值总和。因为智商有限，Cirno将这个问题交给完美算术教室里的你。
因为爱护动物，所以每次冻结的青蛙会被放生。也就是说一只青蛙可以被多次统计。
输入
第一行2个正整数 n,m。
以下n行，每行2个整数xi,yi,表示第i个结点的坐标。
再以下m行，每行3个整数xj,yj,vj，表示第j个青蛙的坐标和价值。
第n+m+1行一个整数q，表示有q组询问。
每组询问有2行，第一行一个整数s（3<=s<=n），表示简单多边形的结点数。第二行s个正整数，顺时针或逆时针给出多边形的结点的编号(1--n)
输出
q行。
对于每个询问，每行输出一个整数表示冻结的青蛙的价值之和
输入示例
4 3 2 2 3 5 7 4 5 1 3 4 2 4 3 7 6 3 90 2 3 1 2 3 4 1 4 3 2
输出示例
9 99
数据规模及约定
对于30%的数据，n,m<=100; q<=100
对于60%的数据，n,m<=100; q<=10000
对于100%的数据，n,m<=1000; q<=10000
-10000<=x,y<=10000; 0<v<=10000
题解
向量真是太好使了！
首先介绍一个新东西：三角剖分。拿此题为例，我们把两类点混成一类，只是第一类点权值为 0。接下来，给所有点按照极角坐标排序，那么我们需要维护一个 tot[i][j] 表示原点、i、j 这三个点所构成的三角形包含的点的权值和，并且规定：i 到 j 是极角排序正方向时 tot[i][j] 为正（注意所有权值 v > 0），反之为负。那么在询问时对于一个简单多边形直接把相邻两个顶点的 tot 值累加起来即可。
至于如何维护 tot[i][j]，可以先确定 i 并以点 i 作为新的原点，然后按极角的顺序一个一个往平衡树内加点，每次加点 j 时统计一下当前平衡树内以 i 为原点且在向量 i->j 左的向量有多少个，这个个数就是 tot[i][j]。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 2010
struct Vec {
int x, y;
Vec() {}
Vec(int _, int __): x(_), y(__) {}
bool operator < (const Vec& t) const {
return t.y * x - t.x * y ? t.y * x - t.x * y < 0 : x * x + y * y > t.x * t.x + t.y * t.y;
}
// if a < b then a is on b‘s left side.
Vec operator - (const Vec& t) const { return Vec(x - t.x, y - t.y); }
} st;
struct Point {
Vec p; int val, id;
Point() {}
Point(Vec _1, int _2, int _3): p(_1), val(_2), id(_3) {}
bool operator < (const Point& t) const { return p - st < t.p - st; }
} ps[maxn];
int cp;
struct Node {
Vec v;
int val, r, siz, sum;
Node() {}
Node(Vec _1, int _2, int _3): v(_1), val(_2), r(_3) {}
} ns[maxn];
int ToT, rt, fa[maxn], ch[2][maxn];
void maintain(int o) {
ns[o].siz = 1; ns[o].sum = ns[o].val;
for(int i = 0; i < 2; i++) if(ch[i][o])
ns[o].siz += ns[ch[i][o]].siz, ns[o].sum += ns[ch[i][o]].sum;
return ;
}
void rotate(int u) {
int y = fa[u], z = fa[y], l = 0, r = 1;
if(z) ch[ch[1][z]==y][z] = u;
if(ch[1][y] == u) swap(l, r);
fa[u] = z; fa[y] = u; fa[ch[r][u]] = y;
ch[l][y] = ch[r][u]; ch[r][u] = y;
maintain(y); maintain(u);
return ;
}
int insert(int& o, Point x, Point Org) {
if(!o) {
ns[o = ++ToT] = Node(x.p, x.val, rand());
maintain(o);
return x.val;
}
bool d = x.p - Org.p < ns[o].v - Org.p; d ^= 1;
int ans = 0, ls = ch[0][o] ? ns[ch[0][o]].sum : 0;
if(d) ans += ls + ns[o].val;
ans += insert(ch[d][o], x, Org); fa[ch[d][o]] = o;
if(ns[ch[d][o]].r > ns[o].r) {
int t = ch[d][o];
rotate(t); o = t;
}
maintain(o);
return ans;
}
int pid[maxn], tot[maxn][maxn], n, m;
void init() {
sort(ps + 1, ps + cp + 1);
for(int i = 1; i <= (cp >> 1); i++) swap(ps[i], ps[cp-i+1]);
for(int i = 1; i <= cp; i++) if(ps[i].id <= n) pid[ps[i].id] = i;
// for(int i = 1; i <= cp; i++) printf("point[%d]: %d %d\n", i, ps[i].p.x, ps[i].p.y);
for(int i = 1; i <= cp; i++) {
memset(fa, 0, sizeof(fa));
memset(ch, 0, sizeof(ch));
rt = ToT = 0;
for(int j = i; j <= cp; j++) {
tot[i][j] = insert(rt, ps[j], ps[i]);
if(i != j) tot[j][i] = -tot[i][j];
// printf("%d %d: %d\n", i, j, tot[i][j]);
}
}
return ;
}
int rps[maxn], get[maxn];
int main() {
n = read(); m = read();
st = Vec(-10001, -10001);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int x = read(), y = read();
ps[i] = Point(Vec(x, y), 0, i);
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int x = read(), y = read(), v = read();
ps[i+n] = Point(Vec(x, y), v, i + n);
}
cp = n + m;
init();
int q = read();
while(q--) {
int t = read();
for(int i = 0; i < t; i++) rps[i] = pid[read()];
// for(int i = 0; i < t; i++) printf("%d%c", rps[i], i < t - 1 ? ‘ ‘ : ‘\n‘);
int ans = 0;
for(int i = 0; i < t; i++) ans += tot[rps[i]][rps[(i+1)%t]];
printf("%d\n", abs(ans));
}
return 0;
}
顺便完成预习“向量”的作业。。。