Algorithm --> Kruskal算法和Prim算法

最小生成树之Kruskal算法和Prim算法

　　根据图的深度优先遍历和广度优先遍历，可以用最少的边连接所有的顶点，而且不会形成回路。这种连接所有顶点并且路径唯一的树型结构称为生成树或扩展树。实际中，希望产生的生成树的所有边的权值和最小，称之为最小生成树。常见的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

Kruskal算法

每次选取权值最小的边。然后检查是否加入后形成回路，如果形成回路则需要放弃。最终构成最小生成树。n个顶点的图最小生成树步骤如下：

边的权值升序排序；

选取所有未遍历的边中权值最小的边，判断加入后是否形成回路，若形成回路，放弃之，重新从未被遍历的边中选择。

重复上述步骤，直到选中n-1条边。

代码：

/*****************Kruskal算法********************/
struct Edge
{
    int v1,v2;//顶点
    int w;//边v1--v2权值
    struct Edge *next;//指向下一条边
}
//h为按边的权值升序排序的单链表
int Kruskal(Edge *h, int *visited)
{
    int edgenum = 0;//记录生成树中边的个数
    int weight = 0;//权值和
    Edge *p = h;
    printf("最小生成树:(顶点1,顶点2,权值)\n");

    while(edgenum != maximum)//maximum=顶点数，当边数=顶点数-1时结束
    {
        if(visited[p->v1] == 0 ||visited[p->v2]==0)
            //新增边至少有一个顶点没有被访问过
        {
            printf("(%d,%d,%d)->",p->v1,p->v2,p->w);
            weight = weight + p->w; //权值和累加
            visited[p->v1] = 1;
            visited[p->v2] = 1;
            edgenum++;//边数+1
        }
        p = p->next;
        if(p==NULL)//无边可加入
        {
            printf("spanning tree fail\n");
            break;
        }
    }
    return weight;
}

Prim算法

相比于Kruskal选边生成，Prim算法选择顶点生成最小生成树。

从某个顶点v开始，列出顶点 v 所有邻接点的边 选择权值最小的边（vi-->vj）加入到最小生成树中，并标记该边已被访问过；
再从vj开始 列出顶点vj所有邻接点的边，从中选择所有未被访问过的边中权值最小的边 vj-->vk  加入到最小生成树中，并标记该边已被访问过。

重复上述操作，直到找到n-1条边为止。

代码：

/*******************Prims算法******************/
struct Edge
{
    int v1,v2;//顶点
    int w;//边v1--v2权值
    int marked;//标识该边是否已经被添加到最小生成树中
    struct Edge *next;
}
//h为边节点构成的链表，index表示开始顶点
void Prim(Edge *h,int * visited, int index)
{
    Edge *p,*min;//min每次指向剩余边中中权值最小且与上一个边共享顶点v1
    int i;
    int edgenum =0;//已连接边数
    int weight =0;//权值
    int vertex;
    min = (Edge*)malloc(sizeof(Edge));
    /***添加第一条边*******/
    min->w = h->w;//最小边权值初值(可任意指定但小于所有边的权值，当然比越大越好)
    p = h;
    while(p!=NULL)
    {
        if(p->v1 ==index && (p->w < min->w))
            min = p; //找到以index开头且权值最小的边结点
        p = p->next;
    }
    min->marked = 1;//该边已被访问
    visited[min->v1] = 1;
    visited[min->v2] = 1; //该边两个顶点被访问过
    edgenum++;
    weight = min->w;
    printf("(%d,%d,%d)->",min->v1,min->v2,min->w);//输出选中边
    /***添加其余边*******/
    while(edgenum != maximum)
    {
        min->w = h->w;
        p = h;
        while(p != NULL)
        {
            if(p->marked==0 && visited[p->v1]+visited[p->v2]==1)//边没有被访问过 且有且只有一个顶点被访问,另一顶点没有被访问过
                if(p->w < min->w)
                    min = p; //找到权值最小的边
            p = p->next;
        }
        min->marked = 1;
        visited[min->v1] =1;
        visited[min->v2] =1;
        edgenum++;
        weight += min->w;
        printf("(%d,%d,%d)->",min->v1,min->v2,min->w);
    }
    printf("\n总权值为:%d",weight);
}