一、相关定义
树链剖分:把一棵树剖分为若干条链,然后利用数据结构(树状数组,SBT,Splay,线段树等等)去维护每一条链,复杂度为O(logn)。
树链剖分是解决在树上进行插点问线,插线问点等一系列树上的问题。
假如现在给你一棵树,然后每两条边之间有一个权值,有一些操作,1:x---y之间的最大权值是多少,2:改变x---y之间的权值
当前这样的操作有很多,如果直接用暴力的方法的话肯定不行,那么就要想一个好的方法,我们可以想一下能不能借助线段树解决,能不能想一种方法对树上的边进行编号,然后就变成区间了。那么我们就可以在线段树上进行操作了,树链剖分就是这样的一个算法。
当然编号不是简单的随便编号,如果我们进行随便的编号,然后建立一个线段树,如果要更新一个边的权值,是log2(n)的复杂度,而查找的话,我们要枚举x--y的之间的所有的边,假如我们随便以一个点为根节点进行编号,最大的长度是树的直径,这个值本身是比较大的,而在线段树上查找任意一个区间的复杂度也是log2(n),这样查找一次的时间复杂度比直接暴力还要高,所以很明显是不行的。
那么就要想想办法了,我们能不能把x--y之间的一些边一块儿查找,这就是关于树链剖分的重边和轻边,
重边:某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边,由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边
重边是可以放在一块儿更新的,而有
性质:从根到某一点的路径上轻边、重边的个数都不大于logn。
所以这样查找的时间复杂度相当于log2(n)。
其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。
实现的话很简单,用两个dfs处理数数的信息,重边以及轻边,然后就是一些线段树的操作了。
二、算法描述
那么,树链剖分的第一步当然是对树进行轻重边的划分。
定义size(x)为以x为根的子树节点个数,令v为u的儿子中size值最大的节点,那么(u,v)就是重边,其余边为轻边。
当然,关于这个它有两个重要的性质:
(1)轻边(u,v)中,size(v)<=size(u/2) //有人纠错为size(v)<=size(u)/2
(2)从根到某一点的路径上,不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。
当然,剖分过程分为两次dfs,或者bfs也可以。
如果是两次dfs,那么第一次dfs就是找重边,也就是记录下所有的重边。然后第二次dfs就是连接重边形成重链,具体过程就是:以根节点为起点,沿着重边向下拓展,拉成重链,不在当前重链上的节点,都以该节点为起点向下重新拉一条重链。
剖分完毕后,每条重链相当于一段区间,然后用数据结构去维护,把所有重链首尾相接,放到数据结构上,然后维护整体。
在这里,当然有很多数组,现在我来分别介绍它们的作用:
siz[]数组,用来保存以x为根的子树节点个数
top[]数组,用来保存当前节点的所在链的顶端节点
son[]数组,用来保存重儿子
dep[]数组,用来保存当前节点的深度
fa[]数组,用来保存当前节点的父亲
tid[]数组,用来保存树中每个节点剖分后的新编号
rank[]数组,用来保存当前节点在线段树中的位置
那么,我们现在可以根据描述给出剖分的代码:
第一次dfs:记录所有的重边
void dfs1(int u,int father,int d) { dep[u]=d; fa[u]=father; siz[u]=1; for(int i=head[u];~i;i=next[i]) { int v=to[i]; if(v!=father) { dfs1(v,u,d+1); siz[u]+=siz[v]; if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]]) son[u]=v; } } }
第二次dfs:连重边成重链
void dfs2(int u,int tp) { top[u]=tp; tid[u]=++tim; rank[tid[u]]=u; if(son[u]==-1) return; dfs2(son[u],tp); for(int i=head[u];~i;i=next[i]) { int v=to[i]; if(v!=son[u]&&v!=fa[u]) dfs2(v,v); } }
当然,由于题目有时候要求边很多,所以最好不要用二维数组表示边,应用邻接表或者链式前向星。
当然,这里面有一个重要的操作,那就是修改树中边权的值。
如何修改u到v的边权的值呢?这里有两种情况:
(1)如果u与v在同一条重链上,那么就直接修改了
(2)如果u与v不在同一条重链上,那么就一边进行修改,一边将u与v往同一条重链上靠,这样就变成了第一种情况了
那么现在的关键问题就是如何将u和v往同一条重链上靠?这个问题此处我就省略了。
至此,树链剖分原理基本分析完毕!
三、沙场练兵
spoj 375
代码:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) const int N = 10005; int dep[N],siz[N],fa[N],id[N],son[N],val[N],top[N]; //top 最近的重链父节点 int num; vector<int> v[N]; struct tree { int x,y,val; void read(){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&val); } }; tree e[N]; void dfs1(int u, int f, int d) { dep[u] = d; siz[u] = 1; son[u] = 0; fa[u] = f; for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) { int ff = v[u][i]; if (ff == f) continue; dfs1(ff, u, d + 1); siz[u] += siz[ff]; if (siz[son[u]] < siz[ff]) son[u] = ff; } } void dfs2(int u, int tp) { top[u] = tp; id[u] = ++num; if (son[u]) dfs2(son[u], tp); for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) { int ff = v[u][i]; if (ff == fa[u] || ff == son[u]) continue; dfs2(ff, ff); } } #define lson(x) ((x<<1)) #define rson(x) ((x<<1)+1) struct Tree { int l,r,val; }; Tree tree[4*N]; void pushup(int x) { tree[x].val = max(tree[lson(x)].val, tree[rson(x)].val); } void build(int l,int r,int v) { tree[v].l=l; tree[v].r=r; if(l==r) { tree[v].val = val[l]; return ; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,v*2); build(mid+1,r,v*2+1); pushup(v); } void update(int o,int v,int val) //log(n) { if(tree[o].l==tree[o].r) { tree[o].val = val; return ; } int mid = (tree[o].l+tree[o].r)/2; if(v<=mid) update(o*2,v,val); else update(o*2+1,v,val); pushup(o); } int query(int x,int l, int r) { if (tree[x].l >= l && tree[x].r <= r) { return tree[x].val; } int mid = (tree[x].l + tree[x].r) / 2; int ans = 0; if (l <= mid) ans = max(ans, query(lson(x),l,r)); if (r > mid) ans = max(ans, query(rson(x),l,r)); return ans; } int Yougth(int u, int v) { int tp1 = top[u], tp2 = top[v]; int ans = 0; while (tp1 != tp2) { //printf("YES\n"); if (dep[tp1] < dep[tp2]) { swap(tp1, tp2); swap(u, v); } ans = max(query(1,id[tp1], id[u]), ans); u = fa[tp1]; tp1 = top[u]; } if (u == v) return ans; if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v); ans = max(query(1,id[son[u]], id[v]), ans); return ans; } void Clear(int n) { for(int i=1;i<=n;i++) v[i].clear(); } int main() { //freopen("Input.txt","r",stdin); int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<n;i++) { e[i].read(); v[e[i].x].push_back(e[i].y); v[e[i].y].push_back(e[i].x); } num = 0; dfs1(1,0,1); dfs2(1,1); for (int i = 1; i < n; i++) { if (dep[e[i].x] < dep[e[i].y]) swap(e[i].x, e[i].y); val[id[e[i].x]] = e[i].val; } build(1,num,1); char s[200]; while(~scanf("%s",&s) && s[0]!=‘D‘) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); if(s[0]==‘Q‘) printf("%d\n",Yougth(x,y)); if (s[0] == ‘C‘) update(1,id[e[x].x],y); } Clear(n); } return 0; }