Kiki & Little Kiki 2
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Problem Description
There are n lights in a circle numbered from 1 to n. The left of light 1 is light n, and the left of light k (1< k<= n) is the light k-1.At time of 0, some of them turn on, and others turn off.
Change the state of light i (if it‘s on, turn off it; if it is not on, turn on it) at t+1 second (t >= 0), if the left of light i is on !!! Given the initiation state, please find all lights’ state after M second. (2<= n <=
100, 1<= M<= 10^8)
Input
The input contains one or more data sets. The first line of each data set is an integer m indicate the time, the second line will be a string T, only contains ‘0‘ and ‘1‘ , and its length n will not exceed 100. It means all lights in the circle from 1 to n.
If the ith character of T is ‘1‘, it means the light i is on, otherwise the light is off.
Output
For each data set, output all lights‘ state at m seconds in one line. It only contains character ‘0‘ and ‘1.
Sample Input
1 0101111 10 100000001
Sample Output
1111000 001000010
Source
HDU 8th Programming Contest Site（1）
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题意：有n个0-1字符串组成的环，如果一个数字左边是1那么就将此数字的状态改变。第一个数字的左边是第n个数字。问第m秒后的状态字符串
观察： 最后一个数字变化 01 -->?1 10-->?1 11-->?0 00-->?0 观察到最后一位的结果是 这两个数字异或的结果。 事实是第i位数字的结果就是 第i位异或i-1位。
所以判断第i位就是取出第i位和i-1位，然后进行异或运算。如何取出这两位？让与这两位相乘的数字等于1 ，其他位上相乘的数字等于0 例如0101000取出2 3位 就是与0110000 相乘 我们已经学会如何取出i位和i-1位上的两个数字 然后如何判断第i位的值呢？ 其实异或的运算结果就等于数字相加mod 2 的结果。0^1=(0+1)%2=1
1^1=(1+1)%2=0 0^0=(0+0)%2=0 1^0=(1+0)%2=1
所以当我们取出i位i-1位之后可以进行相加对2取余 得到第i位的结果。
题目给的第一个样例如果：
取第1 2位则相乘的数字 1 1 0 0 0 0 0
取第2 3位则相乘的数字 0 1 1 0 0 0 0
取第3 4位则相乘的数字 0 0 1 1 0 0 0
取第4 5位则相乘的数字 0 0 0 1 1 0 0
取第5 6位则相乘的数字 0 0 0 0 1 1 0
取第6 7位则相乘的数字 0 0 0 0 0 1 1
取第7 1位则相乘的数字 1 0 0 0 0 0 1
如果是一秒后的状态就每一位都取一次 就是乘以上述矩阵一次，2秒后的状态就是乘以矩阵两次。。。。。m秒后的状态就是乘以m次。
所以可以转化成矩阵的快速幂 指数为m。然后用给定的字符串再去乘以该矩阵 得到的结果就是m秒后的状态
注意矩阵相乘时的优化。否则超时。
AC代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define maxn 100+5
using namespace std;
int mat[maxn][maxn];
int res[maxn][maxn];
int n,m;
void Matmul(int x[maxn][maxn],int y[maxn][maxn],int Mod)
{
int t[maxn][maxn];
memset(t,0,sizeof(t));
/*第一种 计算每一个位置上的元素。 //这样计算没法优化，会超时
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
t[i][j]=(t[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%Mod;
*/
/*第二种 一行一行的计算出所有元素
for(int i=0;i<n;i++)
for(int k=0;k<n;k++)
if(x[i][k]) //剪枝优化
for(int j=0;j<n;j++)
t[i][j]=(t[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%Mod;
*/
//第三种 一列一列的计算出所有元素
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
if(y[k][j]) //剪枝优化
for(int i=0;i<n;i++)
t[i][j]=(t[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%Mod;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
x[i][j]=t[i][j];
}
void init_res()
{
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
res[i][j]=(i==j);
}
void Matrix(int a[maxn][maxn],int n,int Mod)
{
init_res();
while(n){
if(n&1)Matmul(res,a,Mod);
Matmul(a,a,Mod);
n>>=1;
}
}
int main()
{
char s[110];
int ans[110];
while(scanf("%d",&m)!=EOF){
memset(mat,0,sizeof(mat));
memset(res,0,sizeof(res));
scanf("%s",s);
n=strlen(s);
for(int i=0;i<n;i++)
ans[i]=s[i]-'0';
for(int i=0;i<n-1;i++) //给出初始矩阵
mat[i][i]=mat[i][i+1]=1;
mat[n-1][0]=mat[n-1][n-1]=1;
Matrix(mat,m,2);
int temp[110]={0};
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
temp[i]=(temp[i]+ans[j]*res[j][i])%2;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d",temp[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
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