转自 雪狼的程序故事

http://www.cnblogs.com/gaoteng/archive/2012/04/11/2442692.html

经典回溯算法（八皇后问题）

今天偶尔看到了一个算法问题（八皇后问题），回想一下还是在算法课上学习过的，于是，自己总结了一下，写了这篇日志

算法提出：

在国际象棋棋盘上（8*8）放置八个皇后，使得任意两个皇后之间不能在同一行，同一列，也不能位于同于对角线上。问共有多少种不同的方法，并且指出各种不同的放法。

算法思路：

　　首先我们分析一下问题的解，我们每取出一个皇后，放入一行，共有八种不同的放法，然后再放第二个皇后，同样如果不考虑规则，还是有八种放法。于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始，树每增加一层，便是多放一个皇后，直到第8层（根节点为0层），最后得到一个完全八叉树。　　

　　紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树，在遍历的过程中，进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。

　　那么具体用什么条件来进行子树的裁剪呢？

　　我们先对问题解的结构做一个约定。

　　用X[i]来表示，在第i行，皇后放在了X[i]这个位置。

　　于是我们考虑第一个条件，不能再同一行，同一列于是我们得到x[i]不能相同。剩下一个条件是不能位于对角线上，这个条件不是很明显，我们经过分析得到，设两个不同的皇后分别在j，k行上，x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k])，其中abs为求绝对值的函数。

　　于是下面我们便可以利用一个递归的调用来遍历八叉树。

　　我们首先定义一个访问某节点所有子节点的函数

void backtrack(int t)
{
    if(t>num) //num为皇后的数目
    {
        sum++;//sum为所有的可行的解
        for(int m = 1;m<num;m++)
        {
            cout<<x[m];//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
        }
        cout<<endl;
    }
    else
        for(int i = 1;i<=num;i++)
        {
            x[t] = i;
            if(place(t)) backtrack(t+1);//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归
        }
}

下面我们定义了条件判断函数

bool place(int k)
{
    for(int j = 1;j<k;j++)
        if(abs(x[k] - x[j]) == abs(k-j)||x[j] == x[k])
            return false;
        return true;

}

上面的函数便是按照我们上面说介绍的条件进行判断。

最后就是主程序的调用了

static int num;
static int *x;
static int sum;
void main()
{
    num = 8;
    sum = 0;
    x = new int[num+1];
    for(int i= 0;i<=num;i++)
        x[i] = 0;
    backtrack(1);
    cout<<"方案共有"<<sum;

}

通过上面的总结，是自己对整个算法有了更深刻的理解，熟悉的回溯法的思想。