什么是二分图?
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。------摘自百度百科
怎样判定二分图?
以下内容摘自《算法竞赛进阶指南》
存在如下定理:
一张无向图是二分图,当且仅当图中不存在奇环(长度为奇数的环).
根据该定理,同志们可以以染色法进行二分图的判定.主体思想为:尝试用黑白两种颜色标记图中的结点,当一个结点被标记后,它的所有相邻结点应该被标记与它相反的颜色.若标记过程中产生冲突,则说明图中存在奇环.二分图染色一般基于DFS实现,时间复杂度为\(O(n+m)\),伪代码如下:
void dfs(int x,int color)
{
赋值v[x] <-- color
对于与x相连的每条无向边(x,y)
if v[y]=0 then
dfs(y,3-color)
else if v[y]=color then
判定无向图不是二分图,算法结束
}
在主函数中
for i <-- 1 to n
if(v[i]=0)then dfs(i,1)
判定无向图是二分图
二分图最大匹配
以下定义摘自《算法竞赛进阶指南》
"任意两条边没有公共端点"的边的集合被称为图的一组匹配.在二分图中,包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配.
对于任意一组匹配\(S\)(\(S\)是边集),属于\(S\)的边被称为"匹配边",不属于\(S\)的边被称为"非匹配边".匹配边的端点被称为"匹配点",其他结点被称为"匹配点".如果二分图中存在一条连接两个非匹配点的路径\(path\),使得非匹配边与匹配边在\(path\)上交错出现,那么称\(path\)是匹配\(S\)的增广路,也称交错路.
有如下定理:
二分图的一组匹配\(S\)是最大匹配,当且仅当图中不存在\(S\)的增广路.
配图如下:
如图,图2,图3(请不要联想到图波耶夫设计局)中红色的边就是图1的匹配,图3中红色的边为图1的最大匹配.
匈牙利算法(增广路算法)
匈牙利算法,又称增广路算法,用于计算二分图最大匹配.
引入
独立团战士们要发枪,每个战士都有自己想要的枪.关系如下:
开始分配:
政委想要捷克式轻机枪,于是把捷克式轻机枪分给了政委.
团长这时说道:"好你他娘的赵政委,当几天政委还蹭鼻子上脸了是吧?老子就要用捷克式轻机枪."
政委想了想,反正咱百里赵刚用汉阳造也顺手,顺手拿来了汉阳造,轻机枪给了团长.
但是和尚也想用这把汉阳造,于是找政委商量.
政委:"关心小同志是咱当政委的职责,要不这样,这把汉阳造就拿给你用,我去找团长商量用轻机枪."
团长:"怎么?又打老子的轻机枪的主意?我看你和老子还有几天交情,轻机枪给你用,行了吧,读书人还真他娘的不讲理.这几天闲着没事,二营的那台意大利炮,老子拿来玩几天."
于是团长从二营拖来了意大利炮,政委用上了轻机枪,和尚拿到了汉阳造.
二营长这就不乐意了,我堂堂张大喵彪,好不容易缴获的意大利炮,哪是个团长随随便便就能拿来玩的?
于是张大喵彪找到了团长.
团长:"去你他娘的二营长,老子官比你大,用你的炮怎么啦?老子把炮给你了老子用什么打仗?你让那小鬼子自个往我嘴里钻?我看你打仗天天摔帽子,那顶上次去边区领多了一顶帽子,你给老子拿去用."
于是张大喵彪分到了一顶帽子.
主体思想
上面的过程就是一个标准的匈牙利算法.
匈牙利算法的思想就是寻找增广路,把增广路上的匹配状态全部取反,得到一个更大的匹配.
具体来说的话,可以以上面的第二幅图举例.
"李团长 --> 捷克式轻机枪 --> 赵政委 --> 汉阳造",这是匹配"赵政委 --> 捷克式轻机枪"的一条增广路,其中"李团长"和"汉阳造"为增广路连接的两个非匹配点.同志们把这条增广路上的所有边的匹配状态取反,原来政委拿到了轻机枪,取反之后变为没有拿到,原来团长没有拿到轻机枪,取反后拿到了轻机枪,原来政委没有拿到汉阳造,取反后拿到了汉阳造.
这样就得到了一个更大的匹配.
我们重复第二步,直到图中不存在增广路,就得到了最大匹配.
因为该算法最多遍历整个二分图一次,所以时间复杂度为\(O(nm)\).
具体实现
- 设\(S\)为空集,即所有的边都是非匹配边.
- 寻找增广路,把路径上的边全部取反,得到一个更大的匹配\(S`\)
- 重复第二部,直到图中不存在增广路.
关于具体怎么寻找增广路,怎么给路径取反,我讲在代码中解释.
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge
{
int to,next;
}e[1000010];
int n,m,e_,size,ans;
int head[10010],match[10010];
bool flag[10010];
inline void EdgeAdd(int,int);
inline void Hungary();
inline bool find(int);
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d%d",&n,&m,&e_);
for(int _=1;_<=e_;_++)
{
int from,to;
scanf("%d%d",&from,&to);
if(from>n||to>m||from>m||to>n)
{
continue;
}
EdgeAdd(from,to);
}
Hungary();
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
inline void EdgeAdd(int from,int to)
{
e[++size].to=to;
e[size].next=head[from];
head[from]=size;
}
inline void Hungary()
{
for(int _=1;_<=n;_++)//枚举左集中的结点
{
memset(flag,false,sizeof(flag));
if(find(_)==true)//存在一条增广路
{
ans++;
}
}
}
inline bool find(int from)
{
for(int _=head[from];_!=-1;_=e[_].next)//遍历该结点的路径
{
int to=e[_].to;
if(flag[to]==false)//flag数组防止往回走
{
flag[to]=true;
if(match[to]==0||find(match[to])==true)
/*这里有两种情况,一种是右集中的点没有被选,那么它们俩构成长度为1的增广路.
另一种是右集中的点已经被选了,但是往下递归可以发现选它的点可以有其他的选择,这样构成了一条两端都是非匹配点的路径,即增广路.
*/
{
match[to]=from;//更改匹配
return true;
}
}
}
return false;
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/Lemir3/p/11113535.html