映射的微分

1.与其他教材的不同以及教材知识的补充
这里笔者手边的教材是中科大史济怀和常庚哲（缅怀下仙逝的常先生），与其他教材有轻微的不同。一部分国外和国内教材，此处对于多变量微分学，直接是从向量函数开始讲的，一部分教材里有一个个人认为的缺陷，就是对数理基础的要求极其的高，在这些书里，算子的性质往往是被理解的十分自然的，也就是说，他们不会花时间去解释性质为什么是这样，因为他们把线性代数的东西直接拿来了（有些书里在讨论函数正交或抽象的正定矩阵时你也会发现这些问题），甚至你的线代教材基于的数集是\(\mathbb{R}\),但是现在分析书里讨论的是\(\mathbb{Z}\)或者\(\mathbb{F}\)，然后你可能会自然的考虑，那这些东西咱也不知道，能不能推过来啊？
如果你是自学党或者线性代数or高等代数的水平跟不上时，这不是你的问题，别滞于囹圄而寸步不前。这些困惑里艰深的部分往往不是自己能解答的，要多向他人请教。

在上一部分其实已经提出过这个\(\mathrm{d} f\left(x_{0}\right)=J f\left(x_{0}\right) h\)，但限于数量函数，这里我们先从形式上推广出对于向量函数的结果来，再去讨论它的严格证明。
2.##形式上的推导
回想我们对于用矩阵重写的部分（第二节的3-1）的描述，我们知道矩阵相乘的一个性质在于，假定\(A\times B=C\),那么\(C_{i}=A_{i}\times B\)（\(A_{i}\)表示矩阵第i行）
也就是行行之间互不干扰，那么对于每一个行，具备了称为分量的条件，我们让每一个行成为一个分量，这样应该能满足每一行的结果间是独立的。也就是说，它能继承我们对于函数只有单独一个一行（即使一行只有一个数字）时讨论的结果，同时，可以在维度上扩充。这样\(\nabla\)(看成\(A\times B=C\)中的A)只需在行的维度上扩充，也就是说
\[J f\left(x_{0}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_{1}\left(x_{0}\right)}{\partial x_{1}}} & {\dots} & {\frac{\partial f_{1}\left(x_{0}\right)}{\partial x_{n}}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {\frac{\partial f_{m}\left(x_{0}\right)}{\partial x_{1}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{m}\left(x_{0}\right)}{\partial x_{n}}}\end{array}\right)\]
对于向量函数，它的微分应该满足我们这样的期待
3.##一个证明的思路
首先要给出推广后可微的定义，才能继续。
对于f，如果满足
\[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=A h+r(h)\]
且\(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\|r(h)\|}{\|h\|}=0\),
则f在\(x_0\)处可微。
然后我们沿着之前的形式推导，既然维数是有限的，对于每个\(r\)的分量极限都是成立的，那么整合到一起，很容易由范数的关系得到新的极限也能成立。
4.##关于一个可能没用的理解
线代里我们都知道，非常重要的意义在于把映射推广到里矩阵。函数复合推广到了相乘，对于多元微积分，这或许是线代第一次真正意义上的应用，以后我们认为Jacobi矩阵就是一个”微分“或者”导数“，因为他们两个实质的意义已经没有区分的必要
5.#可微判定定理的推广
我们把第二节\(4-2\)的定理推广
若Jacobi矩阵存在，且\(\nabla f\)各元素在\(x_0\)处连续，则\(f\)在\(x_0\)可微

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