hdu--4549--费马小定理&快速幂&欧拉函数

这题 蛮复杂的.

我自己做的时候 无法处理完 最后一步公式的转换 后来看到别人说这是 费马小定理 与 欧拉函数的思想下的转换

可是 我自己还推导不出来啊...

首先 你要发现f[n]=a^x * b^y其实指数x 与 y是fib数列中的f[n-1]与f[n]项( n>=1 并且数列是0 1 1 2 3 5 8 ...)

那么 其实题目就转换成了 f[n] = a^fib[n-1] * b^fib[n] % mod;

这边 不必要对于 a^fib[n-1]与 b^fib[n] 单独再在括号进行取模运算 因为Mod = 1000000007 太大了 即使单独取模 还是会存在溢出的可能 因为只要(mod-1)%mod = mod-1那么这 (mod-1)^2肯定溢出int了  所以 就直接用Long long就是了

然后我就是不会对于fib[n-1]进行化简取模了  因为不对它取模 肯定是溢出的 可是我想不明白 具体的MOD 应该取多少呢？

就去看了别人的解释 说是 费马小定理与欧拉函数的联系吧

当p是素数的时候 满足

a^(p) ≡ a（mod p）

当p是素数的时候 并且gcd(a,p) == 1的时候  满足

a^(p-1) ≡1（mod p）

还有一个就是 a^{( euler(p) )} ≡1（mod p）

当p是素数的时候 那么euler(p) 自然就是p-1了

然后 将2者联系起来 就可以化简为     a^fib(n-1) = a^( fib(n-1)%(mod-1)  ) % (mod)

但是 这2者怎么联系 转换 我没求导出来 太渣了 烦.

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 typedef long long LL;
 5 const LL mod = 1000000007;
 6 struct matrix
 7 {
 8     LL m[2][2];
 9 }base,ans;
10
11 matrix multi( matrix& p , matrix& q , int col )
12 {
13     matrix temp;
14     for( int i = 0 ; i<2 ; ++i )
15     {
16         for( int j = 0 ; j<col ; ++j )
17         {
18             temp.m[i][j] = 0;
19             for( int k = 0 ; k<2 ; ++k )
20             {
21                 temp.m[i][j] = ( temp.m[i][j] + p.m[i][k] * q.m[k][j] )%(mod-1);
22             }
23         }
24     }
25     return temp;
26 }
27
28 void fastMod( LL n )
29 {
30     while( n )
31     {
32         if( n&1 )
33         {
34             ans = multi( base , ans , 1 );
35         }
36         base = multi( base , base , 2 );
37         n >>= 1;
38     }
39 }
40
41 LL solve( LL x , LL n )
42 {
43     LL ans = 1;
44     while( n )
45     {
46         if( n&1 )
47         {
48             ans = x * ans % mod;
49         }
50         n >>= 1;
51         x = x * x % mod;
52     }
53     return ans;
54 }
55
56 int main()
57 {
58     cin.sync_with_stdio(false);
59     LL a , b , n , var;
60     while( cin >> a >> b >> n )
61     {
62         ans.m[0][0] = 1;
63         ans.m[1][0] = 1;
64         base.m[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;
65         base.m[1][1] = 0;
66         if( !n )
67             cout << a << endl;
68         else if( n==1 )
69             cout << b << endl;
70         else if( n==2 )
71             cout << (a*b%mod) << endl;
72         else
73         {
74             fastMod( n-2 );
75             a = solve( a , ans.m[1][0] );
76             b = solve( b , ans.m[0][0] );
77             var = a * b % mod;s
78             cout << var << endl;
79         }
80     }
81     return 0;
82 }