测度论讲义严加安第二版习题参考解答

若 $\calC$ 同时为代数和单调类或同时为 $\pi$ 类和 $\lm$ 类, 则 $\calC$ 为 $\sigma$ 代数. 证明: $$\bex \va{n} A_n=\va{n} (A_1\cap \cdots A_n);\quad \va{n} A_n=\sex{\vu{n} A_n^c}^c =\sex{\vu{n}(A_1^c\cup \cdots \cup A_n^c)}^c. \eex$$

证明: $$\bex \vli{n}A_n\cap \vls{n}B_n\subset \vls{n}(A_n\cap B_n). \eex$$ 证明: $$\beex \bea &\quad x\in \vli{n}A_n\cap \vls{n}B_n\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \dps{x\in \vli{n}A_n}\\ \dps{x\in\vls{n}B_n} \ea}\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \exists\ n_0,\ \forall\

$\lm$ 类中定义的条件 (i) 和 (ii) 等价于如下两条件: (i)' $A\in \calC\ra A^c\in \calC$; (ii)' $A,B\in \calC,\ A\cap B=\vno\ra A\cup B\in \calC$. 证明: $\ra$: $$\beex \bea A\in \calC&\ra A^c=\Om\bs A\in \calC;\\ A,B\in \calC,\ A\cap B=\vno&\ra A\cup B =(A^c\cup B^c)^c

证明对可列不交并封闭的代数为 $\sigma$ 代数. 证明: $$\bex \cap_{n=1}^\infty A_n=\sex{\cup_{n=1}^\infty A_n^c}^c =\sex{\cup_{n=1}^\infty B_n^c}^c\quad\sex{B_1=A_1;\ B_n=A_nA_1^c\cdots A_{n-1}^c,\ n\geq 2}. \eex$$

Page 9: 含 $\om$ 的 $\calF$ 原子的性质 对 $\forall\ \om\in\Om$, 令 $$\bex \calF_\om=\sed{B\in\calF;\ \om\in B},\quad A(\om)=\cap_{B\in\calF_\om}B, \eex$$ 称 $A(\om)$ 为含 $\om$ 的 $\calF$ 原子, 它就是所有包含 $\om$ 的 $\calF$ 可测集的交 (未必是 $\calF$ 可测的), 且有以下两个性质: (1). 设 $\om,

1. (a) 证明 (6) 定义了范数. (b) 证明他们在 (5) 式移一下是等价的. 证明: $$\bex |(z,u)|'\leq |(z,u)|\leq 2|(z,u)|',\quad |(z,u)|''\leq |(z,u)|\leq \sqrt{2}|(z,u)|''. \eex$$ 2. 证明定理 2. 证明: 对 $y_1,y_2\in \bar Y$, $$\bex \exists\ Y\ni y_{1n}\to y_1,\quad Y\ni y_{2n}\to y_2, \e

1. 证明: 若在 4.1 节中取 $S=\sed{\mbox{正整数}}$, $Y$ 是收敛数列构成的空间, $\ell$ 由 (14) 式定义, 则由 (4) 给出的 $p$ 和由 (11) 定义的 $p$ 相等. 证明: $$\bex p(x)=\inf_{x\leq y\in Y}l(y)=\inf_{a_n\leq b_n,\sed{b_n}\in Y}\vlm{n}b_n. \eex$$ 由 $a_n\leq b_n$ 知 $$\bex \vls{n}a_n\leq \vlm{n}b

1. 验证两个线性映射的复合仍是线性映射而且满足分配律: $$\bex {\bf M}({\bf N}+{\bf K})={\bf M}{\bf N}+{\bf M}{\bf K},\quad ({\bf M}+{\bf K}){\bf N}={\bf M}{\bf N}+{\bf K}{\bf N}. \eex$$ 2. 证明定理 1. 证明: 证 (iii). 定义 $$\bex {\bf M}:\quad X/ N_{{\bf M}}\ni [x]\to {\bf M} x\in R_{{

1. 证明 $(10'$). 证明: $\ra$: 由 $p_K(x)<1$ 知 $$\bex \exists\ 0<a<1,\st \cfrac{x}{a}\in K. \eex$$ 既然 $0$ 是 $K$ 的内点, $$\bex \forall\ y,\ \exists\ \ve=\ve(y)>0,\st |t|<\cfrac{\ve}{1-a}\ra ty\in K. \eex$$ 于是由 $K$ 的凸性, $$\bex |t|<\ve\ra x+ty =a\c