四元数小总结

四元数记法：

一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。记标量为w，记向量为v或分开的x,y,z。如下：

[w,v]

[w,(x,y,z)]

四元数与复数：

四元数扩展了复数系统 ，它使用三个虚部i,j,k。它们的关系如下：

i²=j²=k²=-1

ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i

ki=j,ik=-j

一个四元数[w,(x,y,z)]定义了复数 w+xi+yj+zk。

四元数和轴-角对：

四元数能被解释为角位移的轴-角对方式。其公式为下：

设向量n为旋转轴，θ为绕轴旋转的量。

q=[cos(θ/2)  sin(θ/2)n]

=[cos(θ/2)  (sin(θ/2)n_x  sin(θ/2)n_y  sin(θ/2)n_z)]

负四元数：

-q=[-w (-x -y -z)]=[-w -v]

q和-q代表的实际角位移是相同的，很奇怪吧！如果我们将θ加上360度的倍数，不会改变q代表的角位移，但它使q的四个分量变负了。因此，3D中的任意角位移都有两种不同的四元数表示方式，它们互相为负。

单位四元数：

几何上存在2个单位四元数：[1,0]和[-1,0]。它们的意义是：当旋转角为360度的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。

数学上只有一个单位四元数：[1,0]。任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。

四元数的模：

公式如下：

||q||=||[w (x y z)]||=sqrt(w²+x²+y²+z²)

　   =||[w v]||=sqrt(w²+||v||²)

几何意义：

||q||=sqrt(cos(θ/2)²+sin(θ/2)²||n||²)

若n为单位向量，则：||q||=1