注:代价函数(有的地方也叫损失函数,Loss Function)在机器学习中的每一种算法中都很重要,因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程,代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度,防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的。在学习相关算法的过程中,对代价函数的理解也在不断的加深,在此做一个小结。
什么是代价函数?
假设有训练样本(x, y),模型为h,参数为θ。h(θ) = θTx(θT表示θ的转置)。
(1)概况来讲,任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ),如果有多个样本,则可以将所有代价函数的取值求均值,记做J(θ)。因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质:
- 对于每种算法来说,代价函数不是唯一的;
- 代价函数是参数θ的函数;
- 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏,代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y);
- J(θ)是一个标量;
(2)当我们确定了模型h,后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。那么什么时候模型的训练才能结束呢?这时候也涉及到代价函数,由于代价函数是用来衡量模型好坏的,我们的目标当然是得到最好的模型(也就是最符合训练样本(x, y)的模型)。因此训练参数的过程就是不断改变θ,从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下,当我们取到代价函数J的最小值时,就得到了最优的参数θ,记为:
$$\displaystyle min_{ \theta } J(\theta)$$
例如,J(θ) = 0,表示我们的模型完美的拟合了观察的数据,没有任何误差。
(3)在优化参数θ的过程中,最常用的方法是梯度下降,这里的梯度就是代价函数J(θ)对θ1, θ2, ..., θn的偏导数。由于需要求偏导,我们可以得到另一个关于代价函数的性质:
- 选择代价函数时,最好挑选对参数θ可微的函数(全微分存在,偏导数一定存在)
代价函数的常见形式
经过上面的描述,一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求:能够评价模型的准确性,对参数θ可微。
(1)在线性回归中,最常用的是均方误差(Mean squared error),即
$$J(\theta_0, \theta_1) = \frac{ 1 }{ 2m } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } (\hat{ y }^{(i)} - y^{(i)})^2 = \frac{ 1 }{ 2m } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$
m:训练样本的个数;
hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;
y:原训练样本中的y值,也就是标准答案
上角标(i):第i个样本
(2)在逻辑回归中,最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy),交叉熵是一个常见的代价函数,在神经网络中也会用到。下面是《神经网络与深度学习》一书对交叉熵的解释:
交叉熵是对「出乎意料」(译者注:原文使用suprise)的度量。神经元的目标是去计算函数x→y=y(x)。但是我们让它取而代之计算函数x→a=a(x)。假设我们把a当作y等于1的概率,1−a是y等于0的概率。那么,交叉熵衡量的是我们在知道y的真实值时的平均「出乎意料」程度。当输出是我们期望的值,我们的「出乎意料」程度比较低;当输出不是我们期望的,我们的「出乎意料」程度就比较高。
在1948年,克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农熵(Shannon Entropy),它是香农信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香农信息量用来度量不确定性的大小:一个事件的香农信息量等于0,表示该事件的发生不会给我们提供任何新的信息,例如确定性的事件,发生的概率是1,发生了也不会引起任何惊讶;当不可能事件发生时,香农信息量为无穷大,这表示给我们提供了无穷多的新信息,并且使我们无限的惊讶。更多解释可以看这里。
$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } ({y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})})]$$
符号说明同上
(3)学习过神经网络后,发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例(没有隐藏层的神经网络)。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似:
$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } \sum_{ k=1 }^{ K } ({y_k^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1 - y_k^{(i)}) \log (1 - (h_\theta(x^{(i)}))_k})]$$
这里之所以多了一层求和项,是因为神经网络的输出一般都不是单一的值,K表示在多分类中的类型数。
例如在数字识别中,K=10,表示分了10类。此时对于某一个样本来说,输出的结果如下:
1.1266e-004 1.7413e-003 2.5270e-003 1.8403e-005 9.3626e-003 3.9927e-003 5.5152e-003 4.0147e-004 6.4807e-003 9.9573e-001
一个10维的列向量,预测的结果表示输入的数字是0~9中的某一个的概率,概率最大的就被当做是预测结果。例如上面的预测结果是9。理想情况下的预测结果应该如下(9的概率是1,其他都是0):
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
比较预测结果和理想情况下的结果,可以看到这两个向量的对应元素之间都存在差异,共有10组,这里的10就表示代价函数里的K,相当于把每一种类型的差异都累加起来了。
代价函数与参数
代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异,所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数,即,J=f(h(θ), y)。又因为y都是训练样本中给定的,h(θ)有θ决定,所以,最终还是模型参数θ的改变导致了J的改变。对于不同的θ,对应不同的预测值h(θ),也就对应着不同的代价函数J的取值。变化过程为:
$$\theta -> h(\theta), y -> J(\theta)$$
为了更直观的看到参数对代价函数的影响,举个简单的例子:
有训练样本{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)},即4对训练样本,每个样本中第1个是x的值,第2个是y的值。这几个点很明显都是y=x这条直线上的点。如下图:
""" Spyder Editor Python 3.6, Belter, 20170401 """ import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T # 都转换成列向量 y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T theta1 = np.array([[0, 0]]).T # 三个不同的theta_1值 theta2 = np.array([[0, 0.5]]).T theta3 = np.array([[0, 1]]).T X_size = X.shape X_0 = np.ones((X_size[0],1)) # 添加x_0 X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1) h1 = np.dot(X_with_x0, theta1) h2 = np.dot(X_with_x0, theta2) h3 = np.dot(X_with_x0, theta3) plt.plot(X, y, ‘rx‘, label=‘y‘) plt.plot(X, h1, ‘b‘, label=‘h1, theta_1=0‘) plt.plot(X, h2, ‘m‘, label=‘h2, theta_1=0.5‘) plt.plot(X, h3, ‘g‘, label=‘h3, theta_1=1‘) plt.xlabel(‘X‘) plt.ylabel(‘y/h‘) plt.axis([-0.1, 4.5, -0.1, 4.5]) plt.legend(loc=‘upper left‘) plt.savefig(‘liner_gression_error.png‘, dpi=200)
常数项为0,所以可以取θ0=0,然后取不同的θ1,可以得到不同的拟合直线。当θ1=0时,拟合的直线是y=0,即蓝色线段,此时距离样本点最远,代价函数的值(误差)也最大;当θ1=1时,拟合的直线是y=x,即绿色线段,此时拟合的直线经过每一个样本点,代价函数的值为0。
通过下图可以查看随着θ1的变化,J(θ)的变化情况:
""" Spyder Editor Python 3.6, Belter, 20170401 """ # 计算代价函数的值 def calcu_cost(theta, X, y): m = X.shape[0] # sample size X_0 = np.ones((m,1)) X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1) h = np.dot(X_with_x0, theta) return(np.dot((h-y).T, (h-y))/(2*m)) X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T theta_0 = np.zeros((101, 1)) theta_1 = np.array([np.linspace(-2, 4, 101)]).T theta = np.concatenate((theta_0, theta_1), axis=1) # 101组不同的参数 J_list = [] for i in range(101): current_theta = theta[i:i+1].T cost = calcu_cost(current_theta, X, y) J_list.append(cost[0,0]) plt.plot(theta_1, J_list) plt.xlabel(‘theta_1‘) plt.ylabel(‘J(theta)‘) plt.savefig(‘cost_theta.png‘, dpi=200)
从图中可以很直观的看到θ对代价函数的影响,当θ1=1时,代价函数J(θ)取到最小值。因为线性回归模型的代价函数(均方误差)的性质非常好,因此也可以直接使用代数的方法,求J(θ)的一阶导数为0的点,就可以直接求出最优的θ值。
代价函数与梯度
梯度下降中的梯度指的是代价函数对各个参数的偏导数,偏导数的方向决定了在学习过程中参数下降的方向,学习率(通常用α表示)决定了每步变化的步长,有了导数和学习率就可以使用梯度下降算法(Gradient Descent Algorithm)更新参数了。下图中展示了只有两个参数的模型运用梯度下降算法的过程。
下图可以看做是代价函数J(θ)与参数θ做出的图,曲面上的一个点(θ0, θ1, J(θ)),有无数条切线,在这些切线中与x-y平面(底面,相当于θ0, θ1)夹角最大的那条切线就是该点梯度的方向,沿该方向移动,会产生最大的高度(相对于z轴,这里的z轴相当于代价函数J(θ))变化。
(1)线性回归模型的代价函数对参数的偏导数:
还是以两个参数为例,每个参数都有一个偏导数,且综合了所有样本的信息。
(2)逻辑回归模型的代价函数对参数的偏导数:
根据逻辑回归模型的代价函数以及sigmoid函数
$$h_{\theta}(x)=g(\theta^{T}x)$$
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
得到对每个参数的偏导数为
$$\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta) =\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{i})-y^i)x_j^i$$
详细推导过程可以看这里-逻辑回归代价函数的导数
(3)神经网络中的代价函数对参数的偏导数:
这里的计算过程与前面都不一样,后面再补充。
References
https://www.quora.com/How-are-the-cost-functions-for-Neural-Networks-derived/answer/Daniel-Watson-22?srid=uIoGQ
https://www.zhihu.com/question/23468713
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA)
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s3.html
Coursera, Andrew Ng 公开课第一周,第三周,第五周
http://math.stackexchange.com/questions/477207/derivative-of-cost-function-for-logistic-regression
http://math.stackexchange.com/questions/947604/gradient-tangents-planes-and-steepest-direction