HDU 4869 Turn the pokers (2014 多校联合第一场 I)

HDOJ--4869--Turn the pokers【组合数学+快速幂】

题意：有m张扑克，开始时全部正面朝下，你可以翻n次牌，每次可以翻xi张，翻拍规则就是正面朝下变背面朝下，反之亦然，问经过n次翻牌后牌的朝向有多少种情况。我们可以把正面朝上理解为1，反面朝上理解为0，那么可以理解为求01串的不同的组合方式有几种。

解题思路：我们可以知道，每张牌假设起始状态都为0，如果翻奇数次，该牌最后的情况是1，如果翻偶数次，该牌的最后情况为0.根据n次翻牌的个数找出1的个数的下限和上限，然后再在这个范围里用组合数学求有几种排列即可。

我们先来看怎么求1的个数的上限和下限：

Minm：下限  maxm：上限  p：当前的下限 q：当前的上限

1.求1的个数的下限：

当前下限大于等于现在翻牌的数量，这个比较好理解，全翻1,1变成0，则剩下的1就是minm-x；

当前下限小于翻牌数量，上限大于等于翻牌数量，即翻牌数量刚好在上下限之间，所以最少可以把正面朝上的数量减为零，但不一定能减到0，因为有可能当前正面朝上的牌时奇数，而翻牌数量是偶数，所以要判断奇偶性是否一样，为什么要和minm比较奇偶性。如果奇偶性相同，可以减为0，

否则，应该为1。

翻牌数量比上限还大的时候，直接减去上限就是下限。

2.求1的个数的上限：

上限+翻牌数量没有达到总牌数时，上限+翻牌数量就是新的上限，全翻0，这样使1最多；

上限+翻牌数量大于总牌数，而下限+翻牌数量小于等于总牌数，前者可以说是翻牌溢出了，已经全是1再翻的话只会让一些1变成0，后者没有达到全变成1的情况。它们是一个上限一个下限，这说明可以处理到在这之间的情况，那么最好的结果是所有牌都正面朝上，全是1，需要判断奇偶性是否一致，这回和m比较。

上限+翻牌数、下限+翻牌数全都大于总牌数时，说明都会溢出，那就用2 * m - (x + minm)来表示上限，因为(x+minm)小，所以溢出的1变成0的牌数少。

接下来要处理的是计算出 c ( m , i ) 的值：

由于数比较大，要对1000000009取余，这里要用到快速幂取余：

模板如下：

1. long long  PowerMod (int a, int b, int c)
2. {
3. int  ans = 1;
4. a = a % c;
5. while(b>0) {
6. if(b % 2 = = 1)
7. ans = (ans * a) % c;
8. b = b/2;       //   b>>=1;
9. a = (a * a) % c;
10. }
11. return ans;
12. }

关于快速幂取余，可以查看链接：http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/38270829

用数组c表示组合数学 c ( m , i ) 的值, 按理说 c[ i ] = c[ i - 1 ] * ( m - i + 1 ) / i ，然后这个数对MOD取模，但是存在除法取模就不是这么简单的分解了，费马小定理是这样： a^(p-1) ≡1（mod p），p为质数，a、p互质，a^(p-1) mod p 恒等于1。

变换一下，两边同时除以a ，变成 a^(p-2)=a^(-1)(mod p)，所以要除以a 就可以表示成 乘  a^(p-2)，所以有了这样的写法：c[i] = c[i-1] * (m-i+1) % MOD * PowerMod(i,MOD-2) % MOD;

最后将组合数学值相加的时候，要隔一个相加，不难发现上限和下限的奇偶性一样。

总和一下上述思想，我们可以写出代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 #define MOD 1000000009
 3 __int64 c[100100];
 4 __int64  mode(__int64 a,int n)
 5 {
 6     __int64 t = a;
 7     __int64 ans = 1;
 8     while(n)
 9     {
10         if(n & 1)
11         {
12             ans = ans * t % MOD;
13         }
14         n >>= 1;
15         t =  t * t % MOD;
16     }
17     return ans;
18 }
19 int main()
20 {
21     int minm,maxm,x;
22     int p,q;
23     int n,m;
24     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
25     {
26         //初始状态下1的上限和下限都为0；
27         minm = maxm = 0;//maxm表示上限，minm表示下限
28         p = q = 0;//p、q分别记录当前下，上限，然后更新到minm、maxm中
29         for(int i=0; i<n; i++)
30         {
31             scanf("%d",&x);//第i次翻牌的数量
32             //判断下限
33             if(minm>=x)//当前下限大于等于现在翻牌的数量
34                 p = minm - x;//全翻1,1变成0，则剩下的1就是minm-x
35
36             else if(maxm>=x)//当前下限小于翻牌数量，上限大于等于翻牌数量，
37                 p = ((x&1)==(minm&1))?0:1;    //x与minm同奇偶就为0 ，否则为1
38
39             else//翻牌数量比上限还大的时候，直接减去上限就是下限
40                 p = x - maxm;
41
42             //判断上限
43             if(maxm+x<=m)//上限+翻牌数量没有达到总牌数时,上限+翻牌数量就是新的上限
44                 q = maxm + x;
45
46             else if(minm+x<=m) //上限+翻牌数量大于总牌数,而下限+翻牌数量小于等于总牌数
47                 q = (((minm+x)&1)==(m&1))?m:m-1;//x与minm同奇偶就为0,否则为1
48
49             else//上限+翻牌数、下限+翻牌数全都大于总牌数
50                 q = 2 * m - (x + minm);
51
52             minm = p;
53             maxm = q;
54         }
55         __int64 sum=0;
56         c[0]=1;
57         for(int i=1; i<=maxm; i++)//求C(m,i);
58         {
59             if(m-i<i)
60                 c[i] = c[m-i];
61             else
62             {
63                 c[i] = c[i-1]*(m-i+1)%MOD*mode((__int64)i,MOD-2)%MOD;
64             }
65         }
66         for(int i=minm; i<=maxm; i+=2)
67         {
68             sum+=c[i];
69             sum%=MOD;
70         }
71         printf("%I64d\n",sum);
72     }
73     return 0;
74 }