HDOJ1005

Number Sequence

这一题拿到手，第一感觉是不会太难，毕竟算是比较靠前的题目，呵呵。随手写了一个，也知道应该会挂掉，因为1 <= n <= 100,000,000，

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,n;
    while(cin>>a>>b>>n && n)
    {
        int f1 = 1,f2 = 1,f,count = 3;
        while(count <= n)
        {
            f = (a*f2 + b*f1)%7;
            f1 = f2;
            f2 = f;
            count++;
        }
        cout<<f<<endl;
    }
    return 0;
}

不出意料地挂了，需要另寻他路。

暂时没有其他想法，第一反应是0<=f(n)<=6，而且一旦A、B的值给定，序列f(1)、f(2)、f(3)、…f(n)会出现循环。按照这个思路去试了一下题目给出的两个测试例子，果不其然，当(A,B)=(1,1)的时候，出现了循环，循环长度为16；当(A,B)=(1,2)时，也出现了循环，循环长度为12。

再进一步分析，观察给出的公式，

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7，
f(3)=(A+B)%7，
f(4)=(A*((A+B)%7)+B)%7，…，
f(n)=(A%7*f(n-1)+B%7*f(n-2))%7，

0<=A%7，B%7<=6，所以循环的长度不会超过7*7=49.

循环的过程是这样的：

f = (a*f2 + b*f1)%7;
f1 = f2;
f2 = f;

也就是说到了某个阶段，会出现f(m-1) = f(n-1), f(m) = f(n)，m<n，不一定是从1,1开始循环的。所以思路很明显了，定义一个长度大于49的数组，对于确定的A、B，记录前面50次算出的结果，找出循环的部分即可。关键就是找到循环周期和循环的开始，一个比较笨的方法就是对于每次算出一个f(n)，就比较f(n)和f(n-1)与之前算出的结果，如果能够找到一个m，m<n，满足f(m-1) = f(n-1), f(m) = f(n)，循环的周期自然就是n-m，对应的f(n)做一个映射就可以找到其值。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,n,len,start;
    while(cin>>a>>b>>n&&n)
    {
        int f[51]={-1};
        f[1]=1,f[2]=1;
        for(int i=3;i<51;i++)
        {
            f[i]=(a*f[i-1]+b*f[i-2])%7;
            for(int j=2;j<i;j++)
            {
                if((f[j]==f[i])&&(f[j-1]==f[i-1]))
                {
                    len=i-j;
                    start=j-1;
                    break;
                }
            }
        }
        if(n<start)
        {
            cout<<f[n]<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<f[start+(n-start)%len]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

当然还有其他解法，异曲同工。这篇博客写得比较详细

http://www.cnblogs.com/krisdy/archive/2009/04/12/1434013.html

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