博文“二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法”对二分图相关的几个概念讲的特别形象，特别容易理解。本文介绍部分主要摘自此博文。
还有其他可参考博文：
1. 前言
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
2. 匈牙利算法实现
匈牙利算法可基于DFS或BFS实现。本文实现的是基于DFS的。
具体代码头文件定义为：
1 #ifndef HUNGARIAN_H 2 #define HUNGARIAN_H 3 4 #include "BFS_n_DFS.h" // 详细代码请转到Github. 5 6 class Graph_Hun : public Graph_BD 7 { 8 public: 9 Graph_Hun(); 10 virtual ~Graph_Hun(); 11 virtual bool DFS(int vexID); 12 virtual bool BFS(int vexID); 13 int hungarian(); 14 15 void setNumOfLeft(int num); 16 void setNumOfRight(int num); 17 18 private: 19 int matching[MAXNUM]; 20 bool checked[MAXNUM]; 21 int numOfLeft; 22 int numOfRight; 23 }; 24 25 #endif
实现文件为：
1 #include "Hungarian.h"
2 #include <cassert>
3
4 Graph_Hun::Graph_Hun()
5 {
6 memset(matching, -1, sizeof(matching));
7 memset(checked, false, sizeof(checked));
8 }
9
10 Graph_Hun::~Graph_Hun()
11 {
12
13 }
14
15 bool Graph_Hun::DFS(int vexID)
16 {
17 assert(vexID >= 0 && vexID < MAXNUM);
18
19 vector<int> adjVexes = adj(vexID);
20 int sz = adjVexes.size();
21 for (int i = 0; i < sz; i++)
22 {
23 int adjVex = adjVexes[i];
24 if (!checked[adjVex])
25 {
26 checked[adjVex] = true;
27 if (matching[adjVex] == -1 || DFS(matching[adjVex]))
28 {
29 matching[adjVex] = vexID;
30 matching[vexID] = adjVex;
31 return true;
32 }
33 }
34 }
35 return false;
36 }
37
38 bool Graph_Hun::BFS(int vexID)
39 {
40 return true;
41 }
42
43 int Graph_Hun::hungarian()
44 {
45 int maxMatching = 0;
46 for (int i = 0; i < numOfLeft; i++)
47 {
48 if (matching[i] == -1)
49 {
50 memset(checked, false, sizeof(checked));
51 if (DFS(i))
52 maxMatching++;
53 }
54 }
55 return maxMatching;
56 }
57
58 void Graph_Hun::setNumOfLeft(int num)
59 {
60 numOfLeft = num;
61 }
62
63 void Graph_Hun::setNumOfRight(int num)
64 {
65 numOfRight = num;
66 }
Hungarian.cpp
下边将用一个例子来说明利用匈牙利算法求二分图最大匹配的过程。作为例子的二分图如下：
图2-1 一个二分图（其中0~1表示二分图左边，6~12表示二分图右边）
详细的二分图最大匹配过程如下图所示：
图2-2 详细的二分图最大匹配过程
在子图1中，0直接连接到6；在子图2中，1直接连接到7；在子图3中，2试图连接到6（因为是DFS搜索），但6已经连接到0，这时候就要找增广路径了，找到的路径如下图：
图2-3 增广路径“2->6->0->7->1->10”
这时将已匹配和未匹配的路径反转就能够得到图2-2中的子图3了。在图2-2的子图4中，3、4分别直接连接到8、9，没有寻找增广路径的过程。而对5来说，并未能找到增广路径，因此5无法匹配。最终的匹配结果如下图：
图2-4 二分图最终匹配结果
详细代码请参考自Github.