欧拉函数与欧拉定理

以下内容摘自acdreamer

定理一：设m与n是互素的正整数，那么

定理二：当n为奇数时，有。

因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。

定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么

关于这个定理的证明用到容斥：

由于表示小于与互素数的正整数个数，所以用减去与它不互素的数的个数就行了。

那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数，有个。所以定理得证。

定理四：设为正整数n的素数幂分解，那么

这个定理可以根据定理一和定理三证明，其实用到的就是容斥。如果对容斥熟悉，其实完全就可以直接容斥。

定理五：设n是一个正整数，那么

这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。

定理六：设m是正整数，(a,m)=1，则：是同于方程的解。

定理七：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数

求欧拉函数模板

long long Euler(long long n)
{
    long long ans = n;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans - ans / i;
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        ans = ans - ans / n;
    return ans;
}

利用递推法求欧拉函数值：

算法原理：开始令i的欧拉函数值等于它本身，如果i为偶数，可以利用定理二变为求奇数的。

若p是一个正整数满足，那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数值等于自身的情况，那么

说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被该素因子整除的数改变。

void init()
{
    for (int i = 1; i < maxn; i++) Euler[i] = i;
    for (int i = 2; i < maxn; i += 2) Euler[i] >>= 1;
    for (int i = 3; i < maxn; i += 2)
    {
        if (Euler[i] == i)
        {
            for (int j = i; j < maxn; j += i)
                Euler[i] = Euler[i] - Euler[i] / i;
        }
    }
}