**************************************
注:本系列博客是博主学习Stanford大学 Andrew Ng 教授的《机器学习》课程笔记。博主深感学过课程后,不进行总结很容易遗忘,根据课程加上自己对不明白问题的补充遂有此系列博客。本系列博客包括线性回归、逻辑回归、神经网络、机器学习的应用和系统设计、支持向量机、聚类、将维、异常检测、推荐系统及大规模机器学习等内容。
**************************************
逻辑回归
分类(Classi?cation)
分类问题举例:
邮件:垃圾邮件/非垃圾邮件?
在线交易:是否欺诈(是/否)?
肿瘤:恶性/良性?
以上问题可以称之为二分类问题,我们将因变量(dependant variable)可能属于的两个类分别称为负向类(negative class)和正向类(positive class),则因变量y?{0,1},其中0表示负向类,1表示正向类。
对于多分类问题,可以如下定义因变量y:y∈{0,1,2,3,...,n}
如果分类器用的是回归模型,并且已经训练好了一个模型,可以设置一个阈值:
如果hθ(x)≥0.5,则预测y=1,既y属于正例;
如果hθ(x)<0.5,则预测y=0,既y属于负例;
但是对于二分类问题来说,线性回归模型的Hypothesis输出值hθ(x)可以大于1也可以小于0。这个时候我们引出逻辑回归,逻辑回归的Hypothesis输出介于0与1之间,即:
0≤hθ(x)≤1
假说表示(Hypothesis Representation)
上一节谈到,我们需要将Hypothesis的输出界定在0和1之间,既:0≤hθ(x)≤1
但是线性回归无法做到,这里我们引入一个函数g, 令逻辑回归的Hypothesis表示为:
hθ(x)=g(θTx),这里g称为Logistic function
例如,如果对于给定的 x,通过已经确定的参数计算得出 hθ(x)=0.7,则表示有 70%的几率y为正向类,相应地y为负向类的几率为 1-0.7=0.3。
现在假设我们有一个模型:hθ(x)=g(θ0+θ1x1+θ2x2) ,并且参数θ是向量[-3 1 1]。则当-3+x1+x2 大于等于0,即x1+x2大于等于3 时,模型将预测 y=1。
我们可以绘制直线 x1+x2=3,这条线便是我们模型的分界线,将预测为 1 的区域和预测为 0 的区域分隔开。
上述只是一个线性的决策边界,当hθ(x)更复杂的时候,我们可以得到非线性的决策边界,例如:
Costfunction(代价函数)
对于线性回归模型,我们定义的代价函数是所有模型误差的平方和。理论上来说,我们也可以对逻辑回归模型沿用这个定义,但是问题在于,当我们将
带入到这样定义了的代价函数中时,我们得到的代价函数将是一个非凸函数(non-convex function)。
这意味着我们的代价函数有许多局部最小值,这将影响梯度下降算法寻找全局最小值。因此我们重新定义逻辑回归的代价函数:
这样构建的Cost(hθ(x),y)函数的特点是:当实际的 y=1 且 hθ也为 1时误差为 0,当 y=1 但hθ不为1 时误差随着 hθ 的变小而变大;当实际的 y=0 且 hθ也为 0 时代价为0,当y=0 但hθ不为0时误差随着hθ的变大而变大。
在得到这样一个代价函数以后,我们便可以用梯度下降算法来求得能使代价函数最小的参数了。算法为:
注意,这个算法和线性回归里的梯度下降算法几乎是一致的,除了hθ(x)的表示不同。
除了梯度下降算法以外,还有一些常被用来令代价函数最小的算法,这些算法更加复杂和优越,而且通常不需要人工选择学习率,通常比梯度下降算法要更加快速。这些算法有:共轭梯度(Conjugate Gradient),局部优化法(Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS)和有限内存局部优化法(LBFGS)。
Multi-classclassification: One-vs-all(多类分类问题)
多类分类问题举例:
电子邮件分类/标注: 工作邮件,朋友邮件,家庭邮件,爱好邮件
医疗图表(medicaldiagrams): 没有生病,着凉,流感
天气:晴天,多云,雨,雪
One-vs-all(one-vs-rest):
对于多类分类问题,可以将其看做成二类分类问题:保留其中的一类,剩下的作为另一类。例如,对于下面这个例子,可以分别计算其中一类相对于其他类的概率:
******************
作者:hao_09
时间:2015/8/9
文章地址:http://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47381227
******************
版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。